17077. На стороне
AD
треугольника
ABD
взята точка
C
, для которой
CD=AB=1
,
\angle ABC=90^{\circ}
,
\angle CBD=30^{\circ}
. Найдите
AC
.
Ответ.
\sqrt[{3}]{{2}}
.
Решение. Обозначим
AC=x
,
BD=y
и
\angle ACB=\alpha
.
Из прямоугольного треугольник
ABC
получаем, что
\sin\alpha=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{x}.

По теореме синусов из треугольника
BCD
получаем
\frac{CD}{\sin30^{\circ}}=\frac{BD}{\sin(180^{\circ}-\alpha)},~\mbox{или}~2=\frac{y}{\sin\alpha}=\frac{y}{\frac{1}{x}}=xy~\Rightarrow~y=\frac{2}{x}.

По теореме косинусов
AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}-2AB\cdot BD\cos120^{\circ},~\mbox{или}~(x+1)^{2}=1+y^{2}+y,~\mbox{или}~x^{2}+2x=\frac{4}{x^{2}}+\frac{2}{x}.

После очевидных упрощений получаем уравнение
(x^{3}-2)(x+2)=0
. Условию задачи удовлетворяет только положительный корень
\sqrt[{3}]{{2}}
этого уравнения.
Источник: Канадские математические олимпиады. — 1986
Источник: Журнал «Квант». — 1989, № 7, с. 75, задача 12