17078. Докажите, что для любых чисел
a
,
b
и
c
верно неравенство
\sqrt{(a+c)^{2}+b^{2}}+\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}}\geqslant2\sqrt{a^{2}+b^{2}}.

Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат
xOy
и точки
O(0;0)
,
A(a+c;b)
,
B(2a;2b)
. Тогда
OA+AB\geqslant OB,~\mbox{или}~\sqrt{(a+c)^{2}+b^{2}}+\sqrt{(a-c)^{2}+(b-0)^{2}}\geqslant\sqrt{(2a)^{2}+(2b)^{2}},

т. е.
\sqrt{(a+c)^{2}+b^{2}}+\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}}\geqslant2\sqrt{a^{2}+b^{2}}.

Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью И.А.Кушнира «Геометрические решения негеометрических задач», Квант, 1989, N11, с.61-63.
Источник: Журнал «Квант». — 1989, № 11, с. 63, задача 8