17079. Докажите, что
A=|\sin x\sin y\sin z+\cos x\cos y\cos z|\leqslant1.
Решение. Рассмотрим векторы \overrightarrow{a}=(\sin x\sin y;\cos x\cos y)
и \overrightarrow{b}=(\sin z;\cos z)
. Тогда
|A|=|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|\leqslant|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|,
или
A=|\sin x\sin y\sin z+\cos x\cos y\cos z|\leqslant\sqrt{\sin^{2}x\sin^{2}y+\cos^{2}x\cos^{2}y}\cdot\sqrt{\sin^{2}z+\cos^{2}z}=
=\sqrt{\sin^{2}x\sin^{2}y+\cos^{2}x\cos^{2}y}\cdot1\leqslant\sqrt{\sin^{2}x+\cos^{2}x}=1
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью И.А.Кушнира «Геометрические решения негеометрических задач», Квант, 1989, N11, с.61-63.
Источник: Журнал «Квант». — 1989, № 11, с. 63, задача 9