1708. Дана окружность и две неравные параллельные хорды. Используя только линейку, разделите эти хорды пополам.
Указание. Пусть AB
и CD
— данные хорды, прямые AD
и BC
пересекаются в точке M
, а прямые AC
и BD
— в точке N
. Докажите, что прямая MN
делит каждую из данных хорд пополам.
Решение. Пусть AB
и CD
— данные хорды; прямые AD
и BC
пересекаются в точке M
, а прямые AC
и BD
— в точке N
. Докажем, что диаметр окружности, перпендикулярный к этим хордам, проходит через точки M
и N
.
Действительно, при симметрии относительно этого диаметра, точка A
переходит в точку B
, а точка C
— в точку D
, поэтому прямая AC
переходит в прямую BD
. Следовательно, точка N
пересечения этих прямых переходит в себя, т. е. лежит на оси симметрии. Аналогично для точки M
.
Отсюда вытекает следующее построение. Находим точку пересечения M
прямых AD
и BC
, затем — точку N
пересечения прямых AC
и BD
. Затем проводим искомую прямую MN
.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 1.46, с. 169