17081. Один из углов треугольника равен 60^{\circ}
, радиус описанной окружности треугольника равен \frac{7}{\sqrt{3}}
, а радиус вписанной окружности равен \sqrt{3}
. Найдите площадь треугольника.
Ответ. 10\sqrt{3}
.
Решение. Пусть угол при вершине A
треугольника ABC
равен 60^{\circ}
, R=\frac{7}{\sqrt{3}}
— радиус описанной окружности, I
— центр вписанной окружности радиуса r=\sqrt{3}
, M
, N
и K
— точки касания со сторонами AB
, AC
и BC
соответственно.
По теореме синусов
BC=2R\sin\angle A=2\cdot\frac{7}{\sqrt{3}}\sin60^{\circ}=7.
Поскольку AI
— биссектриса угла BAC
, из прямоугольного треугольника AMI
находим, что
AM=IM\ctg30^{\circ}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3.
Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда
p=AM+BK+CN=AM+BK+KC=AM+BC=3+7=10.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=pr=10\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1989, задача 3
Источник: Журнал «Квант». — 1990, № 3, с. 65, задача 3, вариант 2