17081. Один из углов треугольника равен
60^{\circ}
, радиус описанной окружности треугольника равен
\frac{7}{\sqrt{3}}
, а радиус вписанной окружности равен
\sqrt{3}
. Найдите площадь треугольника.
Ответ.
10\sqrt{3}
.
Решение. Пусть угол при вершине
A
треугольника
ABC
равен
60^{\circ}
,
R=\frac{7}{\sqrt{3}}
— радиус описанной окружности,
I
— центр вписанной окружности радиуса
r=\sqrt{3}
,
M
,
N
и
K
— точки касания со сторонами
AB
,
AC
и
BC
соответственно.
По теореме синусов
BC=2R\sin\angle A=2\cdot\frac{7}{\sqrt{3}}\sin60^{\circ}=7.

Поскольку
AI
— биссектриса угла
BAC
, из прямоугольного треугольника
AMI
находим, что
AM=IM\ctg30^{\circ}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3.

Пусть
p
— полупериметр треугольника
ABC
. Тогда
p=AM+BK+CN=AM+BK+KC=AM+BC=3+7=10.

Следовательно,
S_{\triangle ABC}=pr=10\sqrt{3}.

Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1989, задача 3
Источник: Журнал «Квант». — 1990, № 3, с. 65, задача 3, вариант 2