17083. В треугольнике
ABC
(
AB\ne AC
) проведена высота
AA_{1}
. Точки
B_{1}
и
C_{1}
— проекции вершин
B
и
C
на биссектрису угла
BAC
. Докажите, что треугольник
A_{1}B_{1}C_{1}
подобен треугольнику
ABC
.
Решение. Обозначим
\angle ABC=\beta
,
\angle BCA=\gamma
.
1. Пусть эти углы острые и
\beta\gt\gamma
(рис. 1). Из точек
A_{1}
и
C_{1}
сторона
AC
видна под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром
AC
. Вписанные в эту окружность углы
AC_{1}A_{1}
и
ACA_{1}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Значит,
\angle A_{1}C_{1}B_{1}=\angle AC_{1}A_{1}=\angle ACA_{1}=\angle ACB=\gamma.

Из точек
A_{1}
и
B_{1}
сторона
AB
видна под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром
AC
. Четырёхугольник
ABA_{1}B_{1}
вписанный, поэтому
\angle A_{1}B_{1}C_{1}=180^{\circ}-\angle AB_{1}A_{1}=\angle ABA_{1}=\angle ABC=\beta.

Следовательно, треугольник
A_{1}B_{1}C_{1}
подобен треугольнику
ABC
по двум углам. Аналогично для случая
\beta\lt\gamma
.
2. Пусть один из углов, прилежащих к стороне
BC
, тупой, например,
\beta\gt90^{\circ}
(рис. 2). Четырёхугольник
AA_{1}BB_{1}
вписанный, поэтому
A_{1}B_{1}C_{1}=180^{\circ}-\angle AB_{1}A_{1}=180^{\circ}-\angle ABA_{1}=\angle ABC=\beta\angle ABA_{1}=\angle ABC=\beta,

\angle A_{1}C_{1}B_{1}=\angle A_{1}C_{1}A=\angle ACA_{1}=\angle ACB=\gamma.

Следовательно, треугольник
A_{1}B_{1}C_{1}
подобен треугольнику
ABC
по двум углам. Аналогично для
\gamma\gt90^{\circ}
.
3. Если один из углов, прилежащих к стороне
BC
, прямой, утверждение задачи очевидно.