17083. В треугольнике ABC
(AB\ne AC
) проведена высота AA_{1}
. Точки B_{1}
и C_{1}
— проекции вершин B
и C
на биссектрису угла BAC
. Докажите, что треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
подобен треугольнику ABC
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\beta
, \angle BCA=\gamma
.
1. Пусть эти углы острые и \beta\gt\gamma
(рис. 1). Из точек A_{1}
и C_{1}
сторона AC
видна под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
. Вписанные в эту окружность углы AC_{1}A_{1}
и ACA_{1}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Значит,
\angle A_{1}C_{1}B_{1}=\angle AC_{1}A_{1}=\angle ACA_{1}=\angle ACB=\gamma.
Из точек A_{1}
и B_{1}
сторона AB
видна под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
. Четырёхугольник ABA_{1}B_{1}
вписанный, поэтому
\angle A_{1}B_{1}C_{1}=180^{\circ}-\angle AB_{1}A_{1}=\angle ABA_{1}=\angle ABC=\beta.
Следовательно, треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
подобен треугольнику ABC
по двум углам. Аналогично для случая \beta\lt\gamma
.
2. Пусть один из углов, прилежащих к стороне BC
, тупой, например, \beta\gt90^{\circ}
(рис. 2). Четырёхугольник AA_{1}BB_{1}
вписанный, поэтому
A_{1}B_{1}C_{1}=180^{\circ}-\angle AB_{1}A_{1}=180^{\circ}-\angle ABA_{1}=\angle ABC=\beta\angle ABA_{1}=\angle ABC=\beta,
\angle A_{1}C_{1}B_{1}=\angle A_{1}C_{1}A=\angle ACA_{1}=\angle ACB=\gamma.
Следовательно, треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
подобен треугольнику ABC
по двум углам. Аналогично для \gamma\gt90^{\circ}
.
3. Если один из углов, прилежащих к стороне BC
, прямой, утверждение задачи очевидно.