17085. В треугольнике
ABC
со сторонами
AB=14
,
AC=15
и
BC=13
через основание
H
высоты
CH
проводятся прямые, параллельные прямым
AC
и
BC
, которые пересекают соответственно стороны
BC
и
AC
в точках
M
и
N
. Прямая
MN
пересекает продолжение стороны
AB
в точке
D
. Найдите
BD
.
Ответ.
\frac{25}{4}
.
Решение. Обозначим
BH=x
. Выражая общий катет
CH
из прямоугольных треугольников
BHC
и
AHC
по теореме Пифагора, получим
BC^{2}-BH^{2}=AC^{2}-AH^{2},~\mbox{или}~13^{2}-x^{2}=15^{2}-(14-x)^{2}~\Leftrightarrow

\Leftrightarrow~(14-x)^{2}-x^{2}=15^{2}-13^{2}~\Leftrightarrow~28(7-x)=28\cdot2~\Leftrightarrow~x=5.

Значит,
BH=5
и
AH=9
.
Треугольник
HBM
подобен треугольнику
ABC
с коэффициентом
\frac{BH}{AB}=\frac{5}{4}
, а треугольник
AHN
подобен треугольнику
ABC
с коэффициентом
\frac{AH}{AB}=\frac{9}{14}
, поэтому
BM=\frac{5}{14}AC=\frac{5}{14}\cdot13=\frac{65}{14},~NH=\frac{5}{14}BC=\frac{9}{14}\cdot13=\frac{117}{14}.

Из подобия треугольников
BDM
и
HDN
получаем
\frac{BD}{HD}=\frac{BM}{HN},~\mbox{или}~\frac{BD}{BD+5}=\frac{\frac{65}{14}}{\frac{117}{14}}=\frac{5}{9},

откуда
BD=\frac{25}{4}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1990, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1990, с. 52, задача 3, вариант 1
Источник: Журнал «Квант». — 1991, № 3, с. 59, задача 3, вариант 1