17085. В треугольнике ABC
со сторонами AB=14
, AC=15
и BC=13
через основание H
высоты CH
проводятся прямые, параллельные прямым AC
и BC
, которые пересекают соответственно стороны BC
и AC
в точках M
и N
. Прямая MN
пересекает продолжение стороны AB
в точке D
. Найдите BD
.
Ответ. \frac{25}{4}
.
Решение. Обозначим BH=x
. Выражая общий катет CH
из прямоугольных треугольников BHC
и AHC
по теореме Пифагора, получим
BC^{2}-BH^{2}=AC^{2}-AH^{2},~\mbox{или}~13^{2}-x^{2}=15^{2}-(14-x)^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(14-x)^{2}-x^{2}=15^{2}-13^{2}~\Leftrightarrow~28(7-x)=28\cdot2~\Leftrightarrow~x=5.
Значит, BH=5
и AH=9
.
Треугольник HBM
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{BH}{AB}=\frac{5}{4}
, а треугольник AHN
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{AH}{AB}=\frac{9}{14}
, поэтому
BM=\frac{5}{14}AC=\frac{5}{14}\cdot13=\frac{65}{14},~NH=\frac{5}{14}BC=\frac{9}{14}\cdot13=\frac{117}{14}.
Из подобия треугольников BDM
и HDN
получаем
\frac{BD}{HD}=\frac{BM}{HN},~\mbox{или}~\frac{BD}{BD+5}=\frac{\frac{65}{14}}{\frac{117}{14}}=\frac{5}{9},
откуда BD=\frac{25}{4}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1990, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1990, с. 52, задача 3, вариант 1
Источник: Журнал «Квант». — 1991, № 3, с. 59, задача 3, вариант 1