1709. Постройте центр данной окружности с помощью двусторонней линейки, если известно, что ширина линейки меньше диаметра окружности.
Указание. Пусть AB
и CD
— неравные параллельные хорды окружности; прямые AD
и BC
пересекаются в точке M
, а прямые AC
и BD
— в точке N
. Докажите, что прямая MN
проходит через центр окружности.
Решение. Пусть AB
и CD
— две неравные параллельные хорды окружности; прямые AD
и BC
пересекаются в точке M
, а прямые AC
и BD
— в точке N
. Докажем, что диаметр окружности, перпендикулярный к этим хордам, проходит через точки M
и N
.
Действительно, при симметрии относительно этого диаметра, точка A
переходит в точку B
, а точка C
— в точку D
, поэтому прямая AC
переходит в прямую BD
. Следовательно, точка N
пересечения этих прямых переходит в себя, т. е. лежит на оси симметрии. Аналогично для точки M
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим две неравные параллельные хорды AB
и CD
. Находим точку пересечения M
прямых AD
и BC
, затем — точку N
пересечения прямых AC
и BD
. Затем проводим прямую MN
. Таким образом, мы построили диаметр окружности. Точно так же построим какой-нибудь второй диаметр.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 1.45, с. 169