17091. Круг и квадрат имеют общий центр и их площади равны. Сторона квадрата равна 1. Вычислите сумму длин частей окружности, расположенных внутри квадрата.
Ответ.
\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(2\pi-8\arccos\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)
.
Решение. Пусть
R
— радиус окружности,
O
— общий центр окружности и квадрата,
l
— сумма длин частей окружности, расположенных внутри квадрата,
\alpha
— угол под которым из точки
O
видна одна из этих частей, расположенная внутри угла
A
квадрата
ABCD
,
M
— середина стороны
AB
квадрата,
K
— точка пересечения стороны
AB
квадрата с окружностью, а
\angle MOK=\varphi
.
Сторона квадрата равна 1, поэтому
OM=\frac{1}{2}
, а так как площадь круга радиуса
R
равна 1, то
\pi R^{2}=1
, откуда
R=\frac{1}{\sqrt{\pi}}
. Из прямоугольного треугольника
KMO
получаем
\cos\varphi=\cos\angle KOM=\frac{OM}{OK}=\frac{\frac{1}{2}}{R}=\frac{1}{2R}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}~\Rightarrow~\varphi=\arccos\frac{\sqrt{\pi}}{2}.

Тогда
\frac{\alpha}{2}=\angle AOK=\angle AOM-\angle KOM=\frac{\pi}{4}-\varphi~\Rightarrow~\alpha=\frac{\pi}{2}-2\varphi=\frac{\pi}{2}-2\arccos\frac{\sqrt{\pi}}{2}.

Значит,
l=R\alpha=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{\pi}{2}-2\arccos\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right).

Следовательно, искомая сумма равна
4l=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{\pi}{2}-2\arccos\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(2\pi-8\arccos\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right).

Источник: Вступительный экзамен на математико-механический факультет ЛГУ (СПбГУ). — 1991, задача 4
Источник: Журнал «Квант». — 1992, № 4, с. 68, задача 4, вариант 1