17091. Круг и квадрат имеют общий центр и их площади равны. Сторона квадрата равна 1. Вычислите сумму длин частей окружности, расположенных внутри квадрата.
Ответ. \frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(2\pi-8\arccos\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)
.
Решение. Пусть R
— радиус окружности, O
— общий центр окружности и квадрата, l
— сумма длин частей окружности, расположенных внутри квадрата, \alpha
— угол под которым из точки O
видна одна из этих частей, расположенная внутри угла A
квадрата ABCD
, M
— середина стороны AB
квадрата, K
— точка пересечения стороны AB
квадрата с окружностью, а \angle MOK=\varphi
.
Сторона квадрата равна 1, поэтому OM=\frac{1}{2}
, а так как площадь круга радиуса R
равна 1, то \pi R^{2}=1
, откуда R=\frac{1}{\sqrt{\pi}}
. Из прямоугольного треугольника KMO
получаем
\cos\varphi=\cos\angle KOM=\frac{OM}{OK}=\frac{\frac{1}{2}}{R}=\frac{1}{2R}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}~\Rightarrow~\varphi=\arccos\frac{\sqrt{\pi}}{2}.
Тогда
\frac{\alpha}{2}=\angle AOK=\angle AOM-\angle KOM=\frac{\pi}{4}-\varphi~\Rightarrow~\alpha=\frac{\pi}{2}-2\varphi=\frac{\pi}{2}-2\arccos\frac{\sqrt{\pi}}{2}.
Значит,
l=R\alpha=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{\pi}{2}-2\arccos\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right).
Следовательно, искомая сумма равна
4l=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{\pi}{2}-2\arccos\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(2\pi-8\arccos\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right).
Источник: Вступительный экзамен на математико-механический факультет ЛГУ (СПбГУ). — 1991, задача 4
Источник: Журнал «Квант». — 1992, № 4, с. 68, задача 4, вариант 1