17093. На стороне AC
треугольника ABC
выбрали точку X
. Затем её отобразили относительно стороны AC
и получили точку Y
. Точка Z
на описанной окружности треугольника ABC
такова, прямые BX
и BZ
симметричны относительно биссектрисы угла ABC
. Докажите, что \angle CZY
не зависит от выбора точки X
.
Решение. Пусть луч BX
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке T
, D
— середина дуги AZC
. Поскольку BD
биссектриса вписанных углов ABC
и TBZ
, вписанные углы ABT
и CBZ
равны. Значит, равны хорды AT
и CZ
, поэтому хорды AC
и TZ
параллельны. Тогда ACZT
— равнобедренная трапеция, поэтому
\angle XAT=\angle CAT=\angle ACZ=\angle YCZ.
Кроме того, из симметрии относительно середины сторону AC
равны отрезки AX
и CY
, поэтому треугольники AXT
и CYZ
равны по двум сторонами и углу между ними. Значит,
\angle CZY=\angle ATX=\angle ATB=\angle ACB.
Следовательно, \angle CZY
не зависит от выбора точки X
. Что и требовалось доказать.
Автор: Векшин М. Д.
Источник: Устная олимпиада Лицея НИУ ВШЭ. — 2024, 9-11 класс, задача 2