17094. Дан описанный пятиугольник ABCDE
. Центр его вписанной окружности лежит на диагонали AC
. Докажите, что AB+BC\gt CD+DE+EA
.
Решение. При симметрии относительно диаметра AC
касательные AB
и BC
перейдут в касательные AE
и CD
соответственно, поэтому лучи AE
и CD
пересекутся в точке B'
, симметричной точке B
. Поскольку AB+BC=AB'+B'C
, требуемое неравенство примет вид
AB'+B'C\gt CD+DE+EA~\Leftrightarrow~AE+EB'+B'D+DC\gt CD+DE+EA~\Leftrightarrow~EB'+B'D\gt DE,
что верно по неравенству треугольника.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Турнир городов. — 2023-2024, XLVI, осенний тур, 6 октября, базовый вариант, младшие классы, задача 1