17094. Дан описанный пятиугольник
ABCDE
. Центр его вписанной окружности лежит на диагонали
AC
. Докажите, что
AB+BC\gt CD+DE+EA
.
Решение. При симметрии относительно диаметра
AC
касательные
AB
и
BC
перейдут в касательные
AE
и
CD
соответственно, поэтому лучи
AE
и
CD
пересекутся в точке
B'
, симметричной точке
B
. Поскольку
AB+BC=AB'+B'C
, требуемое неравенство примет вид
AB'+B'C\gt CD+DE+EA~\Leftrightarrow~AE+EB'+B'D+DC\gt CD+DE+EA~\Leftrightarrow~EB'+B'D\gt DE,

что верно по неравенству треугольника.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Турнир городов. — 2023-2024, XLVI, осенний тур, 6 октября, базовый вариант, младшие классы, задача 1