17095. В равностороннем треугольнике ABC
проведены отрезки ED
и GF
, так что образовались два равносторонних треугольника ADE
и GFC
со сторонами 1 и 100 (точки E
и G
лежат на стороне AC
). Отрезки EF
и DG
пересекаются в точке O
, причём \angle EOG=120^{\circ}
. Чему равна сторона треугольника ABC
?
Ответ. 111.
Решение. Заметим, что
\angle FEG=\angle OEG=180^{\circ}-\angle GOE-\angle OGE=180^{\circ}-120^{\circ}-\angle OGE=
=60^{\circ}-\angle OGE=60^{\circ}-\angle DGE=180^{\circ}-120^{\circ}-\angle DGE=\angle GDE
(последнее равенство получается из суммы углов треугольника DEG
, так как \angle DEG=120^{\circ}
).
Кроме того,
\angle DEG=\angle FGE=120^{\circ},
поэтому треугольники FGE
и GED
подобны по двум углам. Значит,
\frac{FG}{GE}=\frac{GE}{ED}~\Rightarrow~GE=\sqrt{FG\cdot ED}=\sqrt{100\cdot1}=10~\Rightarrow
\Rightarrow~AC=AE+EG+GC=1+10+100=111.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Турнир городов. — 2023-2024, XLVI, осенний тур, 6 октября, базовый вариант, старшие классы, задача 4