17095. В равностороннем треугольнике
ABC
проведены отрезки
ED
и
GF
, так что образовались два равносторонних треугольника
ADE
и
GFC
со сторонами 1 и 100 (точки
E
и
G
лежат на стороне
AC
). Отрезки
EF
и
DG
пересекаются в точке
O
, причём
\angle EOG=120^{\circ}
. Чему равна сторона треугольника
ABC
?
Ответ. 111.
Решение. Заметим, что
\angle FEG=\angle OEG=180^{\circ}-\angle GOE-\angle OGE=180^{\circ}-120^{\circ}-\angle OGE=

=60^{\circ}-\angle OGE=60^{\circ}-\angle DGE=180^{\circ}-120^{\circ}-\angle DGE=\angle GDE

(последнее равенство получается из суммы углов треугольника
DEG
, так как
\angle DEG=120^{\circ}
).
Кроме того,
\angle DEG=\angle FGE=120^{\circ},

поэтому треугольники
FGE
и
GED
подобны по двум углам. Значит,
\frac{FG}{GE}=\frac{GE}{ED}~\Rightarrow~GE=\sqrt{FG\cdot ED}=\sqrt{100\cdot1}=10~\Rightarrow

\Rightarrow~AC=AE+EG+GC=1+10+100=111.

Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Турнир городов. — 2023-2024, XLVI, осенний тур, 6 октября, базовый вариант, старшие классы, задача 4