17096. Дана окружность радиуса
r
. На расстоянии
2r
от центра окружности выбрана точка
A
. Из этой точки проведены касательная и секущая, причём секущая равноудалена от центра окружности и от точки касания. Найдите отрезок секущей, заключённый внутри круга.
Ответ.
2r\sqrt{\frac{10}{13}}
.
Решение. Пусть
O
— центр окружности,
B
— точка касания,
AGC
— секущая,
BF
и
OD
перпендикуляры к секущей,
E
— точка пересечения секущей с радиусом
OB
.
Отрезки
OD
и
BF
равны и параллельны, значит,
ODBF
— параллелограмм,
OE=BE=\frac{1}{2}OB)=\frac{1}{2}r.

Пусть
\angle DOE=\alpha
. Тогда
OD=OE\cos\alpha=\frac{r}{2}\cos\alpha,

CG=2CD=2\sqrt{OC^{2}-OD^{2}}=2\sqrt{r^{2}-\frac{1}{4}\cos^{2}\alpha}=r\sqrt{4-\cos^{2}\alpha}.

Стороны углов
BAE
и
DOE
соответственно перпендикулярны, поэтому угол
BAE
тоже равен
\alpha
. Из прямоугольного треугольника
BAE
находим
\tg\alpha=\frac{BE}{AB}=\frac{BE}{\sqrt{OA^{2}-OB^{2}}}=\frac{r}{2\sqrt{4r^{2}-r^{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{3}},\cos^{2}\alpha=\frac{1}{1+\tg^{2}\alpha}=\frac{12}{13}.

Следовательно,
CG=r\sqrt{4-\cos^{2}\alpha}=r\sqrt{4-\frac{12}{13}}=2r\sqrt{\frac{10}{13}}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1975, задача 2, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 5, задача 2, вариант 1