17097. В прямоугольном треугольнике ABC
катет AC
равен a
, CE
— высота, проведённая из вершины прямого угла. Известно, что расстояние от центра окружности, вписанной в треугольник ACE
, до катета BC
в два раза больше радиуса этой окружности. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{3a^{2}}{8}
.
Решение. Пусть O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, r
— её радиус, M
— точка касания со стороной AC
, ON
— перпендикуляр к BC
, \angle ACE=\angle ABC=2\alpha
.
Поскольку CO
— биссектриса угла ACE
, то \angle OCM=\alpha
, а так как CMON
— прямоугольник, то CM=NO=2r
. Из прямоугольного треугольника COM
находим, что
\tg\alpha=\tg\angle OCM=\frac{OM}{CM}=\frac{r}{2r}=\frac{1}{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~\tg2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^{2}\alpha}=\frac{2\cdot\frac{1}{2}}{1-\tg^{2}\frac{1}{4}}=\frac{4}{3},~\ctg2\alpha=\frac{3}{4}.
Тогда
BC=AC\ctg\angle ABC=a\cdot\frac{3}{4}=\frac{3a}{4}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot\frac{3a}{4}\cdot a=\frac{3a^{2}}{8}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1975, задача 2, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 6, задача 2, вариант 2