17097. В прямоугольном треугольнике
ABC
катет
AC
равен
a
,
CE
— высота, проведённая из вершины прямого угла. Известно, что расстояние от центра окружности, вписанной в треугольник
ACE
, до катета
BC
в два раза больше радиуса этой окружности. Найдите площадь треугольника
ABC
.
Ответ.
\frac{3a^{2}}{8}
.
Решение. Пусть
O
— центр вписанной окружности треугольника
ABC
,
r
— её радиус,
M
— точка касания со стороной
AC
,
ON
— перпендикуляр к
BC
,
\angle ACE=\angle ABC=2\alpha
.
Поскольку
CO
— биссектриса угла
ACE
, то
\angle OCM=\alpha
, а так как
CMON
— прямоугольник, то
CM=NO=2r
. Из прямоугольного треугольника
COM
находим, что
\tg\alpha=\tg\angle OCM=\frac{OM}{CM}=\frac{r}{2r}=\frac{1}{2}~\Rightarrow

\Rightarrow~\tg2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^{2}\alpha}=\frac{2\cdot\frac{1}{2}}{1-\tg^{2}\frac{1}{4}}=\frac{4}{3},~\ctg2\alpha=\frac{3}{4}.

Тогда
BC=AC\ctg\angle ABC=a\cdot\frac{3}{4}=\frac{3a}{4}.

Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot\frac{3a}{4}\cdot a=\frac{3a^{2}}{8}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1975, задача 2, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 6, задача 2, вариант 2