17098. В параллелограмме ABCD
угол BAD
равен 120^{\circ}
, 2AB=AD=2a
. Найдите радиус окружности, проходящей через точку A
и касающейся сторон BC
и CD
.
Ответ. 3a(\sqrt{3}-\sqrt{2})
.
Решение. Пусть O
— центр, а r
— радиус окружности, M
и N
— точки касания со сторонами BC
и CD
соответственно.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому
\angle OCN=\frac{1}{2}\angle ACD=\frac{1}{2}\angle BAC=60^{\circ}.
Поскольку AD=2CD
и \angle ADC=60^{\circ}
, треугольник ACD
прямоугольный с прямым углом при вершине C
(см. задачу 2643). Значит,
\angle ACO=\angle ACD-\angle OCN=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.
Применив теорему косинусов к треугольнику AOC
со сторонами
AO=r,~AC=CD\tg60^{\circ}=a\sqrt{3},~OC=\frac{ON}{\sin\angle60^{\circ}}=\frac{2r}{\sqrt{3}},
и углом \angle ACO=30^{\circ}
, получим уравнение
r^{2}=\frac{4}{3}r^{2}+3a^{2}-2\cdot\frac{2r}{\sqrt{3}}\cdot a\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2},
или
\frac{r^{2}}{3}-2ra\sqrt{3}+3a^{2}=0
С корнями r=3a(\sqrt{3}\pm\sqrt{2})
.
Докажем, что корень r=3a(\sqrt{3}+\sqrt{2})
не удовлетворяет условию задачи. Действительно, пусть при этом r
точка M
лежит на отрезке BC
. Тогда
CM\lt CB~\mbox{т. е.}~r\sqrt{3}\lt2a~\Leftrightarrow~3a\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})\lt2a.
Противоречие.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1975, задача 2, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 6, задача 2, вариант 3