17100. В треугольнике
ABC
угол
BAC
равен
30^{\circ}
, центр окружности, проходящей через точки
B
,
C
и середину
AB
, лежит на стороне
AC
. Найдите площадь треугольника, если радиус окружности равен
r
.
Ответ.
\frac{r^{2}}{2}(\sqrt{3}+1)
.
Решение. Пусть
E
— середина стороны
AB
,
D
— точка пересечения окружности со стороной
AC
.
Проведём высоту
BH
треугольника
ABC
. Тогда
HE
— медиана прямоугольного треугольника
AHB
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
HE=\frac{1}{2}AB=HB
. Значит, точка
H
равноудалена от концов отрезка
BE
, и поэтому лежит на серединном перпендикуляре к хорде
BE
данной окружности. В то же время, серединный перпендикуляр к хорде содержит диаметр окружности, поэтому точка
H
лежит и на этом диаметре, и на диаметре
CD
. Следовательно, точка
H
совпадает с центром
O
данной окружности. Тогда
AB=2OE=2r,~OA=OB\ctg30^{\circ}=r\sqrt{3}.

Таким образом,
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}OA\cdot OB+\frac{1}{2}OC\cdot OB=\frac{1}{2}OB(OA+OC)=

=\frac{1}{2}r(r\sqrt{3}+r)=\frac{r^{2}}{2}(\sqrt{3}+1).

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1975, задача 2, вариант 5
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 7, задача 2, вариант 5