17100. В треугольнике ABC
угол BAC
равен 30^{\circ}
, центр окружности, проходящей через точки B
, C
и середину AB
, лежит на стороне AC
. Найдите площадь треугольника, если радиус окружности равен r
.
Ответ. \frac{r^{2}}{2}(\sqrt{3}+1)
.
Решение. Пусть E
— середина стороны AB
, D
— точка пересечения окружности со стороной AC
.
Проведём высоту BH
треугольника ABC
. Тогда HE
— медиана прямоугольного треугольника AHB
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому HE=\frac{1}{2}AB=HB
. Значит, точка H
равноудалена от концов отрезка BE
, и поэтому лежит на серединном перпендикуляре к хорде BE
данной окружности. В то же время, серединный перпендикуляр к хорде содержит диаметр окружности, поэтому точка H
лежит и на этом диаметре, и на диаметре CD
. Следовательно, точка H
совпадает с центром O
данной окружности. Тогда
AB=2OE=2r,~OA=OB\ctg30^{\circ}=r\sqrt{3}.
Таким образом,
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}OA\cdot OB+\frac{1}{2}OC\cdot OB=\frac{1}{2}OB(OA+OC)=
=\frac{1}{2}r(r\sqrt{3}+r)=\frac{r^{2}}{2}(\sqrt{3}+1).
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1975, задача 2, вариант 5
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 7, задача 2, вариант 5