17104. В остроугольном треугольнике
ABC
через вершину
B
и середину высоты
CD
проведена прямая. В каком отношении эта прямая делит площадь треугольника
ABC
, если известно, что угол
A
равен
\alpha
, а угол
B
равен
\beta
?
Ответ.
\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\cos\beta}
.
Решение. Пусть
M
— середина высоты
CD
. Прямая
BM
делит площадь треугольника в том же отношении, что и сторону
AC
. По теореме Менелая для треугольника
ADC
и прямой
BE
получаем
\frac{AE}{EC}\cdot\frac{CM}{MD}\cdot\frac{DB}{BA}=1,~\mbox{или}~\frac{AE}{CE}\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{BC\cos\beta}{AB}=1,

откуда, применив теорему синусов к треугольнику
ABC
, получим
\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{BC\cos\beta}=\frac{AB}{BC}\cdot\frac{1}{\cos\beta}=\frac{\sin(180^{\circ}-\alpha-\beta)}{\sin\alpha}\cdot\frac{1}{\cos\beta}=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\cos\beta}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1976, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1976, с. 9, задача 3, вариант 3