17106. Через вершину B
треугольника ABC
проведена прямая, параллельная биссектрисе угла C
и пересекающая продолжение стороны AC
в точке D
. Пусть E
— середина отрезка BD
. В каком отношении прямая AE
делит площадь треугольника ABC
, если известно, что AC=b
, а BC=a
.
Ответ. (a+b):b
.
Решение. Пусть CK
— биссектриса треугольника ABC
. Поскольку \angle CBD=\angle BCK
и \angle BDC=\angle KCA
, то \angle BDC=\angle CBD
, поэтому треугольник BCD
равнобедренный, CD=BC=a
.
Пусть прямая, проведённая через точку C
параллельно медиане AE
треугольника ABD
, пересекает BD
в точке L
. По теореме о пропорциональных отрезках
\frac{DL}{LE}=\frac{DC}{CA}=\frac{a}{b}~\Rightarrow~\frac{BE}{EL}=\frac{a+b}{b}.
Следовательно, если M
— точка пересечения AE
и BC
, то
\frac{S_{\triangle ABM}}{S_{\triangle ACM}}=\frac{BM}{MC}=\frac{BE}{EL}=\frac{a+b}{b}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1976, задача 3, вариант 5
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1976, с. 10, задача 3, вариант 5