17106. Через вершину
B
треугольника
ABC
проведена прямая, параллельная биссектрисе угла
C
и пересекающая продолжение стороны
AC
в точке
D
. Пусть
E
— середина отрезка
BD
. В каком отношении прямая
AE
делит площадь треугольника
ABC
, если известно, что
AC=b
, а
BC=a
.
Ответ.
(a+b):b
.
Решение. Пусть
CK
— биссектриса треугольника
ABC
. Поскольку
\angle CBD=\angle BCK
и
\angle BDC=\angle KCA
, то
\angle BDC=\angle CBD
, поэтому треугольник
BCD
равнобедренный,
CD=BC=a
.
Пусть прямая, проведённая через точку
C
параллельно медиане
AE
треугольника
ABD
, пересекает
BD
в точке
L
. По теореме о пропорциональных отрезках
\frac{DL}{LE}=\frac{DC}{CA}=\frac{a}{b}~\Rightarrow~\frac{BE}{EL}=\frac{a+b}{b}.

Следовательно, если
M
— точка пересечения
AE
и
BC
, то
\frac{S_{\triangle ABM}}{S_{\triangle ACM}}=\frac{BM}{MC}=\frac{BE}{EL}=\frac{a+b}{b}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1976, задача 3, вариант 5
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1976, с. 10, задача 3, вариант 5