17107. В трапеции
ABCD
основание
BC
равно 12, боковая сторона
CD
равна 7 и
\angle BAD=60^{\circ}
. Известно, что точка пересечения биссектрис углов
ABC
и
BCD
лежит на основании
AD
. Найдите площадь трапеции.
Ответ.
54\sqrt{3}
.
Решение. Поскольку
\angle AOB=\angle CBO=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot120^{\circ}=60^{\circ},

треугольник
ABO
равносторонний. Пусть его сторона равна
x
. Аналогично докажем, что треугольник
CDO
равнобедренный,
OD=CD=7
.
Пусть
BH
,
CP
и
OQ
— высоты трапеции
ABCD
. Тогда
CP=BH=OQ=\frac{x\sqrt{3}}{2},~BQ=HO=\frac{x}{2},~OP=CQ=BC-BQ=12-\frac{x}{2},

поэтому
DP=OD-OP=7-\left(12-\frac{x}{2}\right)=\frac{x}{2}-5.

По теореме Пифагора
DP^{2}+CP^{2}=CD^{2},~\mbox{или}~\left(\frac{x}{2}-5\right)^{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=7^{2}.

После очевидных упрощений получим квадратное уравнение
x^{2}-5x-24=0
. Условию задачи удовлетворяет единственный положительный корень
x=8
этого уравнения.
Тогда
BH=\frac{x\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3},~AD=AO+OD=x+7=8+7=15.

Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=\frac{15+12}{2}\cdot4\sqrt{3}=54\sqrt{3}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1976, задача 3, вариант 6
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1976, с. 11, задача 3, вариант 6