17108. Окружности с центрами
O_{1}
и
O_{2}
касаются друг друга внешним образом в точке
A
, отрезок
AB
— диаметр первой окружности. Отрезки, отсекаемые окружностями на некоторой прямой, проходящей через точку
B
, равны 2, 3 и 4, считая от точки
B
. Найдите радиусы окружностей.
Ответ.
\frac{1}{4}\sqrt{30}
,
\frac{5}{4}\sqrt{30}
.
Решение. Пусть луч с началом в точке
B
пересекает первую окружность радиуса
r
в точке
F
, вторую окружность радиуса
R
— последовательно в точках
K
и
E
, а
C
и
D
— проекции точек соответственно
O_{1}
и
O_{2}
на прямую
BE
. Тогда
BF=2
,
FG=3
,
GE=4
, а
C
и
D
— середины хорд
BF
и
GE
соответственно.
Заметим, что
BO_{2}=BA+AO_{2}=2r+R,~BD=BF+FG+GD=2+3+2=7.

Из прямоугольных треугольников
BO_{2}D
и
DO_{2}E
получаем
O_{2}D^{2}=BO_{2}^{2}-BD^{2}=(2r+R)^{2}-49,~O_{2}D^{2}=O_{2}E^{2}-DE^{2}=R^{2}-4,

поэтому
(2r+R)^{2}-49=R^{2}-4,~\mbox{или}~R^{2}-4r=\frac{45}{2}.

В то же время, из подобия прямоугольных треугольников
BCO_{2}
и
BDO_{2}
получаем
\frac{BO_{1}}{BO_{2}}=\frac{BC}{BD}~\mbox{или}~\frac{r}{2r+R}=\frac{1}{7},

откуда
R=5r
. Из системы
\syst{R^{2}-4r=\frac{45}{2}\\R=5r\\}

находим, что
r=\frac{1}{4}\sqrt{30},~R=\frac{5}{4}\sqrt{30}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1977, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1977, с. 12, задача 3, вариант 1