17108. Окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются друг друга внешним образом в точке A
, отрезок AB
— диаметр первой окружности. Отрезки, отсекаемые окружностями на некоторой прямой, проходящей через точку B
, равны 2, 3 и 4, считая от точки B
. Найдите радиусы окружностей.
Ответ. \frac{1}{4}\sqrt{30}
, \frac{5}{4}\sqrt{30}
.
Решение. Пусть луч с началом в точке B
пересекает первую окружность радиуса r
в точке F
, вторую окружность радиуса R
— последовательно в точках K
и E
, а C
и D
— проекции точек соответственно O_{1}
и O_{2}
на прямую BE
. Тогда BF=2
, FG=3
, GE=4
, а C
и D
— середины хорд BF
и GE
соответственно.
Заметим, что
BO_{2}=BA+AO_{2}=2r+R,~BD=BF+FG+GD=2+3+2=7.
Из прямоугольных треугольников BO_{2}D
и DO_{2}E
получаем
O_{2}D^{2}=BO_{2}^{2}-BD^{2}=(2r+R)^{2}-49,~O_{2}D^{2}=O_{2}E^{2}-DE^{2}=R^{2}-4,
поэтому
(2r+R)^{2}-49=R^{2}-4,~\mbox{или}~R^{2}-4r=\frac{45}{2}.
В то же время, из подобия прямоугольных треугольников BCO_{2}
и BDO_{2}
получаем
\frac{BO_{1}}{BO_{2}}=\frac{BC}{BD}~\mbox{или}~\frac{r}{2r+R}=\frac{1}{7},
откуда R=5r
. Из системы
\syst{R^{2}-4r=\frac{45}{2}\\R=5r\\}
находим, что
r=\frac{1}{4}\sqrt{30},~R=\frac{5}{4}\sqrt{30}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1977, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1977, с. 12, задача 3, вариант 1