17109. Окружности с центрами O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
радиусов 1, 1 и 2 соответственно попарно касаются друг друга внешним образом; A
— точка касания окружностей с центрами O_{1}
и O_{3}
, B
— точка касания окружностей с центрами O_{2}
и O_{3}
. Через точку B
проведена касательная к третьей окружности. Пусть C
— ближайшая к B
точка пересечения этой касательной с первой окружностью. Найти хорду, отсекаемую третьей окружностью на прямой AC
.
Ответ. \frac{4\sqrt{6}}{9}
.
Решение. Пусть D
— точка пересечения прямых BC
и O_{1}O_{2}
, E
— точка касания первой и второй окружностей. Положим \angle O_{1}O_{2}O_{3}=2\alpha
. Тогда O_{3}E
— высота и биссектриса равнобедренного треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
, а так как DB\perp O_{2}O_{3}
и O_{3}E\perp DO_{2}
как общие внутренние касательные касающихся окружностей, то
\angle BDO_{2}=\angle EO_{3}O_{2}=\alpha
как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. В то же время, из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle CEO_{3}=\angle CDE=\angle BDO_{2}=\alpha.
Значит,
\angle DEC=90^{\circ}-\angle CEO_{3}=90^{\circ}-\alpha~\Rightarrow~\angle DCE=180^{\circ}-\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}.
Следовательно, DE
— диаметр первой окружности. Тогда
\angle CO_{1}E=2\angle CDE=2\alpha.
Из прямоугольного треугольника O_{2}EO_{3}
находим, что
\sin\alpha=\frac{EO_{2}}{O_{2}O_{3}}=\frac{EO_{2}}{O_{2}B+BO_{3}}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}.
При этом
\angle AO_{1}C=\angle AO_{1}E-\angle CO_{1}E=\angle O_{3}O_{1}O_{2}-\angle CO_{1}E=(90^{\circ}-\alpha)-\alpha=90^{\circ}-3\alpha.
Значит,
\cos\angle AO_{1}C=\cos(90^{\circ}-3\alpha)=\sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^{3}\alpha=3\cdot\frac{1}{3}-4\cdot\frac{4}{27}=\frac{23}{27}.
По теореме косинусов из равнобедренного треугольника AO_{1}C
находим, что
AC=\sqrt{1+1-2\cdot1\cdot1\cos(90^{\circ}-3\alpha)}=\sqrt{2-2\sin3\alpha}=\sqrt{2\left(1-\frac{23}{27}\right)}=\frac{2\sqrt{6}}{9}.
Пусть прямая AC
вторично пересекает третью окружность в точке F
. Равнобедренные треугольники AO_{3}F
и AO_{1}CF
с общим углом при основаниях подобны с коэффициентом \frac{AO_{3}}{AO_{1}}=2
. Следовательно,
AF=2AC=2\cdot\frac{2\sqrt{6}}{9}=\frac{4\sqrt{6}}{9}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1977, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1977, с. 12, задача 3, вариант 2