1711. Постройте окружность, на которой стороны данного треугольника высекают три одинаковые хорды, равные заданному отрезку.
Указание. Центр искомой окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
Решение. Предположим, что искомая окружность построена. Опустим из её центра O
перпендикуляры OA_{1}
, OB_{1}
и OC_{1}
на стороны соответственно BC
, AC
и AB
данного треугольника ABC
. Равнобедренные треугольники с общей вершиной O
, основаниями которых являются отрезки, высекаемые окружностью на сторонах треугольника, равны по трём сторонам. Точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины оснований этих треугольников. Поскольку отрезки OA_{1}
, OB_{1}
и OC_{1}
равны, O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
.
Построим прямоугольный треугольник, один катет которого равен половине данного отрезка, второй — расстоянию от точки пересечения биссектрис данного треугольника до его стороны (радиусу вписанной окружности). Гипотенуза построенного прямоугольного треугольника равна радиусу искомой окружности.
Задача имеет решение, если построенная гипотенуза меньше наименьшего из расстояний от точки пересечения биссектрис данного треугольника до его вершины.