17110. Через вершину правильного треугольника со стороной 1 проведена прямая, которая делит его на два треугольника. Найти радиусы окружностей, вписанных в каждый из получившихся треугольников, если известно, что один из этих радиусов в два раза больше другого.
Ответ.
\frac{1}{16}(3\sqrt{3}-\sqrt{11})
;
\frac{1}{8}(3\sqrt{3}-\sqrt{11})
.
Решение. Пусть
P_{1}
и
P_{2}
— периметры треугольников, в которые вписаны соответственно меньшая и большая из окружностей, а
l
— длина общей стороны этих треугольников,
S=\frac{\sqrt{3}}{4}
— площадь данного треугольника,
S_{1}
и
S_{2}
— площади треугольников с периметрами
P_{1}
и
P_{2}
соответственно.
Если
r
— радиус меньшей окружности, то из равенства отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, следует, что
P_{1}=2l+2r\sqrt{3},~P_{2}=2l+4r\sqrt{3}.

Значит,
P_{1}+P_{2}=3+2l.

Из равенства
2l+4r\sqrt{3}+2l+4r\sqrt{3}=3+2l

получаем
2l=3-6r\sqrt{3}~\Rightarrow~P_{1}=2l+2r\sqrt{3}=3-4r\sqrt{3}~\mbox{и}~P_{2}=2l+4r\sqrt{3}=3-2r\sqrt{3}.

Тогда
\frac{\sqrt{3}}{4}=S=S_{1}+S_{2}=\frac{1}{2}P_{1}r+P_{2}r=\frac{1}{2}(3-4r\sqrt{3})r+(3-2r\sqrt{3})r=\frac{9}{2}r-4r^{2}\sqrt{3}.

Из уравнения
4r^{2}\sqrt{3}-\frac{9}{2}r+\frac{\sqrt{3}}{4}=0

находим, что
r=\frac{1}{16}(3\sqrt{3}\pm\sqrt{11}).

Корень
r=\frac{1}{16}(3\sqrt{3}+\sqrt{11})
не удовлетворяет условию задачи, так как
2r\lt1
.
Таким образом, искомые радиусы равны
\frac{1}{16}(3\sqrt{3}-\sqrt{11})~\mbox{и}~\frac{1}{8}(3\sqrt{3}-\sqrt{11}).

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1977, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1977, с. 13, задача 3, вариант 3