17111. К окружности радиуса R
проведены касательная и секущая под углом 60^{\circ}
друг к другу. Найти расстояние от центра окружности до точки пересечения касательной и секущей, если отрезок секущей, заключённый внутри круга, равен \frac{8}{5}R
.
Ответ. \frac{14}{15}R\sqrt{3}
.
Указание. Проведём радиус в точку касания и продолжим его до пересечения с секущей. Получится прямоугольный треугольник с острым углом 60^{\circ}
, все элементы которого легко определяются, после чего искомое расстояние можно найти по теореме Пифагора.
Решение. Пусть одна прямая, проходящая через точку A
, касается окружности с центром O
и радиусом R
в точке B
, а вторая прямая, проходящая через точку A
, пересекает окружность в точках C
и D
(C
между A
и D
), причём CD=\frac{8}{5}R
.
Опустим перпендикуляр OM
из центра окружности на хорду CD
. Тогда M
— середина этой хорды, поэтому
OM=\sqrt{OC^{2}-\frac{1}{4}CD^{2}}=\sqrt{R^{2}-\frac{16}{25}R^{2}}=\frac{3}{5}R.
Продолжим радиус OB
до пересечения с прямой AD
в точке E
. Тогда
\angle MEO=\angle AEB=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}~\Rightarrow~OE=2OM=\frac{6}{5}R,
BE=OE+OB=\frac{6}{5}R+R=\frac{11}{5}R,~\Rightarrow~AB=BE\tg30^{\circ}=\frac{11}{5\sqrt{3}}R.
Следовательно,
OA+\sqrt{OB^{2}+AB^{2}}=\sqrt{R^{2}+\frac{121}{75}R^{2}}=\frac{14}{15}R\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1977, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1977, с. 14, задача 3, вариант 4