17111. К окружности радиуса
R
проведены касательная и секущая под углом
60^{\circ}
друг к другу. Найти расстояние от центра окружности до точки пересечения касательной и секущей, если отрезок секущей, заключённый внутри круга, равен
\frac{8}{5}R
.
Ответ.
\frac{14}{15}R\sqrt{3}
.
Указание. Проведём радиус в точку касания и продолжим его до пересечения с секущей. Получится прямоугольный треугольник с острым углом
60^{\circ}
, все элементы которого легко определяются, после чего искомое расстояние можно найти по теореме Пифагора.
Решение. Пусть одна прямая, проходящая через точку
A
, касается окружности с центром
O
и радиусом
R
в точке
B
, а вторая прямая, проходящая через точку
A
, пересекает окружность в точках
C
и
D
(
C
между
A
и
D
), причём
CD=\frac{8}{5}R
.
Опустим перпендикуляр
OM
из центра окружности на хорду
CD
. Тогда
M
— середина этой хорды, поэтому
OM=\sqrt{OC^{2}-\frac{1}{4}CD^{2}}=\sqrt{R^{2}-\frac{16}{25}R^{2}}=\frac{3}{5}R.

Продолжим радиус
OB
до пересечения с прямой
AD
в точке
E
. Тогда
\angle MEO=\angle AEB=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}~\Rightarrow~OE=2OM=\frac{6}{5}R,

BE=OE+OB=\frac{6}{5}R+R=\frac{11}{5}R,~\Rightarrow~AB=BE\tg30^{\circ}=\frac{11}{5\sqrt{3}}R.

Следовательно,
OA+\sqrt{OB^{2}+AB^{2}}=\sqrt{R^{2}+\frac{121}{75}R^{2}}=\frac{14}{15}R\sqrt{3}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1977, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1977, с. 14, задача 3, вариант 4