17112. В равнобедренной трапеции ABCD
основание AB
равно a
, угол A
равен 60^{\circ}
. Известно, что окружности, вписанные в треугольники ABC
и ACD
, касаются. Найдите площадь трапеции.
Ответ. \frac{2a^{2}\sqrt{3}}{9}
.
Указание. В данной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон (см. задачу 10506б).
Решение. Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается отрезков AB
, BC
и AC
в точках X
, T
и U
соответственно, а окружность, вписанная в треугольник ACD
, касается отрезков CD
и AD
в точках Y
и Z
соответственно (отрезка AC
эта окружность касается также в точке U
). Тогда
AB+CD=(AX+XB)+(CY+YD)=(AU+BT)+(CU+DZ)=
(AZ+BT)+(CT+DZ)=(AZ+DZ)+(BT+CT)=AD+BC=2BC.
Пусть прямая, проведённая через вершину D
параллельно боковой стороне BC
, пересекает основание AD
в точке M
. Тогда DM=BC=AD
, а так как \angle DAM=60^{\circ}
, то треугольник ADM
равносторонний. Значит,
AB-CD=AB-BM=AM=AD=BC.
Из равенств
AB+CD=2BC~\mbox{и}~AB-CD=BC
получаем, что
BC=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}a~\Rightarrow~CD=BM=AB-AM=AB-BC=a-\frac{2}{3}a=\frac{1}{3}a.
Высота h
трапеции равна высоте равностороннего треугольника ADM
, т. е.
h=\frac{AD\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{2}{3}a\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot h=\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{3}a\right)\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{2a^{2}\sqrt{3}}{9}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1977, задача 3, вариант 5
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1977, с. 14, задача 3, вариант 5