17114. Основания AB
и CD
трапеции ABCD
равны 5 и 3 соответственно, боковая сторона AD
перпендикулярна основаниям. На отрезке CD
как на диаметре построена окружность, которая пересекает диагонали AC
и BD
в точках F
и E
соответственно. Известно, что отрезок BE
вдвое больше отрезка DE
. В каком отношении точка F
делит отрезок AC
?
Ответ. CF:AF=9:20
.
Решение. Точки E
и F
лежат на окружности с диаметром CD
, поэтому
\angle CED=\angle CDF=90^{\circ}.
Из равенства \angle CDE=\angle ABD
следует, что прямоугольные треугольники CED
и DAB
подобны. Значит,
\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{BD}~\Leftrightarrow~DE\cdot BD=AB\cdot CD=5\cdot3=15,
а так как по условию DE=\frac{1}{3}BD
, то \frac{1}{3}BD^{2}=15
, откуда BD^{2}=45
.
По теореме Пифагора
AD^{2}=BD^{2}-AB^{2}=45-25=20.
Высота DF
прямоугольного треугольника ADC
делит гипотенузу AC
на отрезки, пропорциональные квадратам катетов (см. задачу 1946), следовательно,
\frac{CF}{AF}=\frac{CD^{2}}{AD^{2}}=\frac{9}{20}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1978, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1978, с. 15, задача 3, вариант 1