17114. Основания
AB
и
CD
трапеции
ABCD
равны 5 и 3 соответственно, боковая сторона
AD
перпендикулярна основаниям. На отрезке
CD
как на диаметре построена окружность, которая пересекает диагонали
AC
и
BD
в точках
F
и
E
соответственно. Известно, что отрезок
BE
вдвое больше отрезка
DE
. В каком отношении точка
F
делит отрезок
AC
?
Ответ.
CF:AF=9:20
.
Решение. Точки
E
и
F
лежат на окружности с диаметром
CD
, поэтому
\angle CED=\angle CDF=90^{\circ}.

Из равенства
\angle CDE=\angle ABD
следует, что прямоугольные треугольники
CED
и
DAB
подобны. Значит,
\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{BD}~\Leftrightarrow~DE\cdot BD=AB\cdot CD=5\cdot3=15,

а так как по условию
DE=\frac{1}{3}BD
, то
\frac{1}{3}BD^{2}=15
, откуда
BD^{2}=45
.
По теореме Пифагора
AD^{2}=BD^{2}-AB^{2}=45-25=20.

Высота
DF
прямоугольного треугольника
ADC
делит гипотенузу
AC
на отрезки, пропорциональные квадратам катетов (см. задачу 1946), следовательно,
\frac{CF}{AF}=\frac{CD^{2}}{AD^{2}}=\frac{9}{20}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1978, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1978, с. 15, задача 3, вариант 1