17115. Радиус окружности, описанной около трапеции ABCD
, равен R
. Диагонали AC
и BD
трапеции делятся точкой их пересечения E
в отношении 1:3
, считая от меньшего основания CD
. Угол DEC
равен 60^{\circ}
. Найдите площадь трапеции.
Ответ. \frac{12}{13}R^{2}\sqrt{3}
.
Решение. Трапеция ABCD
вписана в окружность, поэтому она равнобедренная, а CDE
— равнобедренный треугольник с углом 60^{\circ}
, т. е. равносторонний. Треугольник ABE
тоже равносторонний, причём его сторона в три раза больше CD
. По теореме синусов
BC=2R\sin\angle BAC=2R\sin60^{\circ}=R\sqrt{3}.
Пусть CH
— высота трапеции. Положим CD=x
. Тогда
AB=3x,~BH=\frac{AB-CD}{2}=\frac{3x-x}{2}=x,~CH=AC\sin60^{\circ}=4x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2x\sqrt{3}.
С другой стороны, по теореме Пифагора
BC^{2}=CH^{2}+BH^{2},~\mbox{или}~3R^{2}=12x^{2}+x^{2},
откуда находим, что x=\frac{R\sqrt{3}}{\sqrt{13}}
. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot CH=\frac{3x+x}{2}\cdot2x\sqrt{3}=4x^{2}\sqrt{3}=\frac{12}{13}R^{2}\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1978, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1978, с. 16, задача 3, вариант 1