17116. Около треугольника ABC
с равными сторонами AB
и BC
описана окружность радиуса R
. Угол C
треугольника равен \alpha
(\alpha\lt90^{\circ}
). Точка E
— середина дуги BC
описанной окружности. Найти радиус окружности, касающейся внешним образом описанной окружности в точке E
и прямой AB
.
Ответ. \frac{R(\cos\alpha-\cos2\alpha)}{1+\cos2\alpha}=\frac{R\sin\frac{3}{2}\alpha\sin\frac{\alpha}{2}}{1+\cos2\alpha}
.
Решение. Предположим, что треугольник остроугольный, и обозначим через O
центр описанной, а через O_{1}
— центр искомой окружности. Пусть D
и F
— проекции на прямую AB
точек O
и O_{1}
соответственно, G
— проекция точки O
на радиус O_{1}F
. Обозначим O_{1}E=O_{1}F=x
.
Заметим, что
\angle EOB=\frac{1}{2}\angle BOC=\angle BAC=\angle ACB=\alpha=\angle BOD,
\angle GOD=90^{\circ},~\angle O_{1}OG=\angle O_{1}OD-\angle GOD=\angle EOB-\angle GOD=2\alpha-90^{\circ}.
Следовательно,
O_{1}G=O_{1}O\sin(2\alpha-90^{\circ})=-O_{1}O\cos2\alpha.
С другой стороны,
O_{1}G=O_{1}F-GF=O_{1}F-OD=x-OB\cos\alpha=x-R\cos\alpha,~O_{1}O=x+R.
Таким образом,
x-R\cos\alpha=-(x+R)\cos2\alpha~\Rightarrow~x=\frac{R(\cos\alpha-\cos2\alpha)}{1+\cos2\alpha}.
В случае тупоугольного треугольника чертёж изменится, а ответ останется тем же.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1978, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1978, с. 17, задача 3, вариант 3