17116. Около треугольника
ABC
с равными сторонами
AB
и
BC
описана окружность радиуса
R
. Угол
C
треугольника равен
\alpha
(
\alpha\lt90^{\circ}
). Точка
E
— середина дуги
BC
описанной окружности. Найти радиус окружности, касающейся внешним образом описанной окружности в точке
E
и прямой
AB
.
Ответ.
\frac{R(\cos\alpha-\cos2\alpha)}{1+\cos2\alpha}=\frac{R\sin\frac{3}{2}\alpha\sin\frac{\alpha}{2}}{1+\cos2\alpha}
.
Решение. Предположим, что треугольник остроугольный, и обозначим через
O
центр описанной, а через
O_{1}
— центр искомой окружности. Пусть
D
и
F
— проекции на прямую
AB
точек
O
и
O_{1}
соответственно,
G
— проекция точки
O
на радиус
O_{1}F
. Обозначим
O_{1}E=O_{1}F=x
.
Заметим, что
\angle EOB=\frac{1}{2}\angle BOC=\angle BAC=\angle ACB=\alpha=\angle BOD,

\angle GOD=90^{\circ},~\angle O_{1}OG=\angle O_{1}OD-\angle GOD=\angle EOB-\angle GOD=2\alpha-90^{\circ}.

Следовательно,
O_{1}G=O_{1}O\sin(2\alpha-90^{\circ})=-O_{1}O\cos2\alpha.

С другой стороны,
O_{1}G=O_{1}F-GF=O_{1}F-OD=x-OB\cos\alpha=x-R\cos\alpha,~O_{1}O=x+R.

Таким образом,
x-R\cos\alpha=-(x+R)\cos2\alpha~\Rightarrow~x=\frac{R(\cos\alpha-\cos2\alpha)}{1+\cos2\alpha}.

В случае тупоугольного треугольника чертёж изменится, а ответ останется тем же.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1978, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1978, с. 17, задача 3, вариант 3