17117. Около остроугольного треугольника
ABC
с равными сторонами
AC
и
BC
описана окружность радиуса
R
с центром в точке
O
. Другая окружность с центром в точке
O
касается сторон
AC
и
BC
и пересекает основание
AB
в точках
D
и
E
. Отрезок
DE
равен половине основания
AB
. Найдите площадь треугольника
ABC
.
Ответ.
\frac{8}{9}R^{2}\sqrt{2}
.
Решение. Пусть
CF
— высота треугольника
ABC
,
r
— радиус меньшей окружности,
DE=2x
(точка
D
между
A
и
E
),
\angle ACB=2\alpha
. Тогда
BE=AD=2x
и
GF=FE=x
.
По теореме Пифагора
OF^{2}=OA^{2}-AF^{2}=R^{2}-4x^{2},~r^{2}=OD^{2}=OF^{2}+DF^{2}=(R^{2}-4x^{2}+x^{2}=R^{2}-3x^{2}.

С другой стороны, из равнобедренного треугольника
BOC
получаем
r^{2}=OB^{2}-\frac{1}{4}BC^{2}=R^{2}-\frac{1}{4}BC^{2},

поэтому
BC=2\sqrt{R^{2}-r^{2}}=2\sqrt{r^{2}+3x^{2}-r^{2}}=2x\sqrt{3}~\Rightarrow

\Rightarrow~\sin\alpha=\frac{BF}{BC}=\frac{2x}{2x\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}~\Rightarrow~\cos\alpha=\sqrt{\frac{2}{3}}~\Rightarrow~\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}.

По теореме синусов получаем
AB=2R\sin2\alpha=\frac{4R\sqrt{2}}{3}~\Rightarrow~BC=\frac{AB}{2\sin\alpha}=\frac{2R\sqrt{6}}{3}.

Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC^{2}\sin2\alpha=\frac{1}{2}BC\cdot AC\sin2\alpha=\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{3}R^{2}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{8}{9}R^{2}\sqrt{2}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1978, задача 3, вариант 5
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1978, с. 18, задача 3, вариант 5