17119. Острый угол ABC
ромба ABCD
равен 60^{\circ}
. Окружность проходит через центр ромба, касается прямой AB
в точке B
и пересекает сторону CD
в точке E
. В каком отношении точка E
делит отрезок CD
?
Ответ. \sqrt{3}:1
, считая от вершины D
.
Решение. Пусть F
— центр ромба, а сторона ромба равна a
. Продолжим FC
до пересечения с данной окружностью в некоторой точке G
. Поскольку \angle BFG=90^{\circ}
, отрезок BG
диаметр окружности, поэтому её центр O
— середина отрезка BG
.
Из прямоугольного треугольник ABG
с углом 60^{\circ}
при вершине A
находим, что
AG=2a,~BG=a\sqrt{3},
а так как AC=AB=a
, то OC
— средняя линия треугольника ABG
. Значит, OC\parallel AB
, поэтому точки O
, C
, E
и D
лежат на одной прямой. Тогда
CE=OE-OC=OB-\frac{1}{2}AB=\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}(\sqrt{3}-1),
DE=CD-CE=a-\frac{a}{2}(\sqrt{3}-1)=\frac{a}{2}(2-\sqrt{3}+1)=\frac{a}{2}(3-\sqrt{3})=\frac{a\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}-1).
Следовательно,
\frac{DE}{CE}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}-1)}{\frac{a}{2}(\sqrt{3}-1)}=\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1979, задача 4, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1979, с. 20, задача 4, вариант 1