17119. Острый угол
ABC
ромба
ABCD
равен
60^{\circ}
. Окружность проходит через центр ромба, касается прямой
AB
в точке
B
и пересекает сторону
CD
в точке
E
. В каком отношении точка
E
делит отрезок
CD
?
Ответ.
\sqrt{3}:1
, считая от вершины
D
.
Решение. Пусть
F
— центр ромба, а сторона ромба равна
a
. Продолжим
FC
до пересечения с данной окружностью в некоторой точке
G
. Поскольку
\angle BFG=90^{\circ}
, отрезок
BG
диаметр окружности, поэтому её центр
O
— середина отрезка
BG
.
Из прямоугольного треугольник
ABG
с углом
60^{\circ}
при вершине
A
находим, что
AG=2a,~BG=a\sqrt{3},

а так как
AC=AB=a
, то
OC
— средняя линия треугольника
ABG
. Значит,
OC\parallel AB
, поэтому точки
O
,
C
,
E
и
D
лежат на одной прямой. Тогда
CE=OE-OC=OB-\frac{1}{2}AB=\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}(\sqrt{3}-1),

DE=CD-CE=a-\frac{a}{2}(\sqrt{3}-1)=\frac{a}{2}(2-\sqrt{3}+1)=\frac{a}{2}(3-\sqrt{3})=\frac{a\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}-1).

Следовательно,
\frac{DE}{CE}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}-1)}{\frac{a}{2}(\sqrt{3}-1)}=\sqrt{3}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1979, задача 4, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1979, с. 20, задача 4, вариант 1