1712. Дан угол и две точки внутри него. Постройте окружность, проходящую через эти точки и высекающую на сторонах угла равные отрезки.
Указание. Поскольку окружность высекает на сторонах угла равные отрезки, то центр окружности равноудалён от сторон угла, а так как окружность проходит через две данные точки, то её центр равноудалён от этих точек.
Решение. Предположим, что искомая окружность построена, O
— её центр, Пусть A
и B
— данные точки, MN
и PQ
— равные отрезки, высекаемые окружностью на сторонах данного угла. Опустим перпендикуляры OK
и OL
на MN
и PQ
соответственно. Из равенства равнобедренных треугольников OMN
и OPQ
(по трём сторонам), следует равенство их высот OK
и OL
. Значит, точка O
равноудалена от сторон данного угла. Поэтому она лежит на его биссектрисе.
С другой стороны, точка O
равноудалена от точек A
и B
. Поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB
.
Таким образом, для построения центра искомой окружности достаточно построить биссектрису данного угла и серединный перпендикуляр к данному отрезку AB
.