17120. В угол, равный 60^{\circ}
, вписаны две пересекающиеся окружности. Касательные к окружностям, проходящие через их общую точку, образуют прямой угол. Найти радиусы окружностей, если их общая хорда равна a
.
Ответ. \frac{a}{3}(\sqrt{7}\pm1)
.
Решение. Пусть Q
— вершина данного угла, r
и R
— радиусы окружностей (R\gt r
), центры окружностей — O_{1}
и O_{2}
соответственно, A
и B
— точки пересечения окружностей. Тогда AO_{1}O_{2}
— прямоугольный треугольник с катетами r
, R
и гипотенузой
O_{1}O_{2}=QO_{2}-QO_{1}=2R-2r=2(R-r).
Высота AH
треугольника AO_{1}O_{2}
, опущенная на гипотенузу, равна \frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}
. По теореме Пифагора
r^{2}+R^{2}=O_{1}A^{2}+O_{2}A^{2}=O_{1}O_{2}^{2}=4(R-r)^{2}.
Пусть S
— площадь треугольника O_{1}AO_{2}
. Тогда, с одной стороны,
S=\frac{1}{2}O_{1}O_{2}\cdot AH=\frac{1}{2}\cdot a(R-r),
а с другой S=\frac{1}{2}Rr
, поэтому a(R-r)=Rr
.
Таким образом, решая систему
\syst{r^{2}+R^{2}=4(R-r)^{2}\\a(R-r)=Rr\\R\gt r\\}~\Leftrightarrow~\syst{3r^{2}-8Rr+3R^{2}=0\\a(R-r)=Rr\\R\gt r\\}~\Leftrightarrow~\syst{r=\frac{R(4\pm\sqrt{7})}{3}\\a(R-r)=Rr\\R\gt r\\}
находим, что R=\frac{a}{3}(\sqrt{7}+1)
и r=\frac{a}{3}(\sqrt{7}-1)
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1979, задача 4, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1979, с. 21, задача 4, вариант 2