17122. В прямой угол вписаны две пересекающиеся окружности. Общая хорда этих окружностей вдвое меньше расстояния между их центрами. Найдите угол между касательными, проведёнными к каждой из окружностей в точке их пересечения.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Пусть O_{1}
и r
— центр и радиус меньшей, а O_{2}
и R
-- центр и радиус большей окружности; A
— точка пересечения окружностей. Поскольку точки O_{1}
и O_{2}
лежат на биссектрисе прямого угла, то
O_{1}O_{2}=R\sqrt{2}-r\sqrt{2}=(R-r)\sqrt{2}~\Rightarrow~O_{1}O_{2}^{2}=2(R-r)^{2}.\eqno(1)
Если искомый угол между касательными равен \varphi
, а площадь треугольника O_{1}AO_{2}
равна S
, то
\angle O_{1}AO_{2}=90^{\circ}+90^{\circ}-\varphi=180^{\circ}-\varphi,
так как а
S=\frac{1}{2}O_{1}A\cdot O_{2}A\sin(180^{\circ}-\varphi)=\frac{1}{2}rR\sin\varphi.
С другой стороны, высота AH
треугольника O_{1}AO_{2}
равна половине общей хорды данных окружностей, т. е. AH=\frac{1}{4}O_{1}O_{2}
, поэтому
S=\frac{1}{2}O_{1}O_{2}\cdot AH=\frac{1}{2}O_{1}O_{2}\cdot\frac{1}{4}O_{1}O_{2}=\frac{1}{8}O_{1}O_{2}^{2}=\frac{1}{8}\cdot2(R-r)^{2}=\frac{1}{4}(R-r)^{2}.
Значит,
\frac{1}{2}rR\sin\varphi=\frac{1}{4}(R-r)^{2}~\Rightarrow~(R-r)^{2}=2rR\sin\varphi.\eqno(2)
По теореме косинусов
O_{1}O_{2}^{2}=r^{2}+R^{2}-2rR\cos(180^{\circ}-\varphi)=r^{2}+R^{2}+2rR\cos\varphi=
=r^{2}+R^{2}-2rR+2rR(1+\cos\varphi)=(R-r)^{2}+2rR(1+\cos\varphi),
поэтому (см. (1))
(R-r)^{2}+2rR(1+\cos\varphi)=2(R-r)^{2}~\Rightarrow~(R-r)^{2}=2rR(1+\cos\varphi).
Учитывая (2), получим
2rR(1+\cos\varphi)=2rR\sin\varphi,~\mbox{или}~1+\cos\varphi=\sin\varphi~\Leftrightarrow~2\cos^{2}\frac{\varphi}{2}=2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2},
а так как \cos\frac{\varphi}{2}\ne0
(поскольку \varphi\ne180^{\circ}
), то
\cos\frac{\varphi}{2}=\sin\frac{\varphi}{2},~\mbox{или}~\tg\frac{\varphi}{2}=1,
откуда \frac{\varphi}{2}=45^{\circ}
. Следовательно, \varphi=90^{\circ}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1979, задача 4, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1979, с. 22, задача 4, вариант 4