17126. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность радиуса R
. Прямые BC
и AD
пересекаются в точке K
, углы CAD
и ADB
равны соответственно 120^{\circ}
и 30^{\circ}
. Найдите KC
, если KB:BC=3:1
.
Ответ. 4R\sqrt{\frac{3}{43}}
.
Решение. Вписанные углы ACB
и ADB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle ACB=\angle ADB=30^{\circ},
а так как \angle CAK=60^{\circ}
, то
\angle AKC=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}.
Тогда BD=2BK
.
Положим BC=x
. Тогда BD=6x
. По теореме синусов
CD=2R\sin\angle CAD=2R\sin120^{\circ}=R\sqrt{3}.
Применив теорему косинусов к треугольнику CBD
, получим
CD^{2}=BC^{2}+BD^{2}-2BC\cdot BD\cos120^{\circ},~\mbox{или}~3R^{2}=x^{2}+36x^{2}-2\cdot6x^{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=43x^{2},
откуда x=R\sqrt{\frac{3}{43}}
. Следовательно,
KC=KB+BC=3x+x=4x=4R\sqrt{\frac{3}{43}}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1980, задача 2, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1980, с. 25, задача 2, вариант 2