17126. Четырёхугольник
ABCD
вписан в окружность радиуса
R
. Прямые
BC
и
AD
пересекаются в точке
K
, углы
CAD
и
ADB
равны соответственно
120^{\circ}
и
30^{\circ}
. Найдите
KC
, если
KB:BC=3:1
.
Ответ.
4R\sqrt{\frac{3}{43}}
.
Решение. Вписанные углы
ACB
и
ADB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle ACB=\angle ADB=30^{\circ},

а так как
\angle CAK=60^{\circ}
, то
\angle AKC=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}.

Тогда
BD=2BK
.
Положим
BC=x
. Тогда
BD=6x
. По теореме синусов
CD=2R\sin\angle CAD=2R\sin120^{\circ}=R\sqrt{3}.

Применив теорему косинусов к треугольнику
CBD
, получим
CD^{2}=BC^{2}+BD^{2}-2BC\cdot BD\cos120^{\circ},~\mbox{или}~3R^{2}=x^{2}+36x^{2}-2\cdot6x^{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=43x^{2},

откуда
x=R\sqrt{\frac{3}{43}}
. Следовательно,
KC=KB+BC=3x+x=4x=4R\sqrt{\frac{3}{43}}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1980, задача 2, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1980, с. 25, задача 2, вариант 2