17127. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность радиуса R
. Диагонали AC
и BD
пересекаются в точке L
. Найдите AC
, если углы CAD
и BDA
равны 120^{\circ}
и 30^{\circ}
соответственно, а BL:LD=3:2
.
Ответ. \frac{11}{7}R
.
Решение. Вписанные углы CBD
и CAD
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle CBD=\angle CAD=120^{\circ}~\Rightarrow~\angle BLC=\angle ALD=180^{\circ}-120^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}.
Значит, треугольники BLC
и ALD
равнобедренные, BL=BC
и AL=AD
.
Положим BL=3x
, LD=2x
. Тогда
AL=\frac{\frac{1}{2}DL}{\cos30^{\circ}}=\frac{2x}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}x\sqrt{3},
LC=2LB\cos30^{\circ}=2\cdot3x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3x\sqrt{3}
По теореме синусов
CD=2R\sin\angle CAD=2R\sin120^{\circ}=R\sqrt{3}.
Применив теорему косинусов к треугольнику CBD
, получим
CD^{2}=BC^{2}+BD^{2}-2BC\cdot BD\cos120^{\circ},~\mbox{или}~3R^{2}=25x^{2}+9x^{2}-30x^{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=49x^{2},
откуда x=\frac{R\sqrt{3}}{7}
. Следовательно,
AC=AL+LC=\frac{2}{3}x\sqrt{3}+3x\sqrt{3}=\frac{11x\sqrt{3}}{3}=\frac{11\cdot\frac{R\sqrt{3}}{7}\cdot\sqrt{3}}{3}=\frac{11}{7}R.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1980, задача 2, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1980, с. 25, задача 2, вариант 3