17127. Четырёхугольник
ABCD
вписан в окружность радиуса
R
. Диагонали
AC
и
BD
пересекаются в точке
L
. Найдите
AC
, если углы
CAD
и
BDA
равны
120^{\circ}
и
30^{\circ}
соответственно, а
BL:LD=3:2
.
Ответ.
\frac{11}{7}R
.
Решение. Вписанные углы
CBD
и
CAD
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle CBD=\angle CAD=120^{\circ}~\Rightarrow~\angle BLC=\angle ALD=180^{\circ}-120^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}.

Значит, треугольники
BLC
и
ALD
равнобедренные,
BL=BC
и
AL=AD
.
Положим
BL=3x
,
LD=2x
. Тогда
AL=\frac{\frac{1}{2}DL}{\cos30^{\circ}}=\frac{2x}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}x\sqrt{3},

LC=2LB\cos30^{\circ}=2\cdot3x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3x\sqrt{3}

По теореме синусов
CD=2R\sin\angle CAD=2R\sin120^{\circ}=R\sqrt{3}.

Применив теорему косинусов к треугольнику
CBD
, получим
CD^{2}=BC^{2}+BD^{2}-2BC\cdot BD\cos120^{\circ},~\mbox{или}~3R^{2}=25x^{2}+9x^{2}-30x^{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=49x^{2},

откуда
x=\frac{R\sqrt{3}}{7}
. Следовательно,
AC=AL+LC=\frac{2}{3}x\sqrt{3}+3x\sqrt{3}=\frac{11x\sqrt{3}}{3}=\frac{11\cdot\frac{R\sqrt{3}}{7}\cdot\sqrt{3}}{3}=\frac{11}{7}R.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1980, задача 2, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1980, с. 25, задача 2, вариант 3