17128. В треугольнике ABC
точка M
лежит на стороне AB
, точка N
— на стороне AC
. Через точки M
, N
, B
, C
проходит окружность радиуса \sqrt{3}
. Найдите AM
, если BC=3
, AM:MB=2:1
и \angle BAC=30^{\circ}
.
Ответ. 2\sqrt{3}
.
Решение. Пусть \angle BMC=\alpha
. По теореме а R=\sqrt{2}
— радиус окружности. По теореме синусов
BC=2R\sin\alpha,~\mbox{или}~3=2\sqrt{3}\sin\alpha~\Rightarrow~\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Значит, \alpha=60^{\circ}
или \alpha=120^{\circ}
.
Второй случай невозможен, так как тогда
\angle AMC=60^{\circ}~\Rightarrow~\angle ACM=180^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ},
поэтому MN
— диаметр окружности, что невозможно, поскольку тогда лучи BM
и CN
не пересекаются
Пусть \alpha=60^{\circ}
. Положим BM=x
и AM=2x
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ACM=\angle BMC-\angle CAM=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ},
поэтому треугольник AMC
равнобедренный, CM=AM=2x
.
По теореме косинусов из треугольника BMC
получаем
BC^{2}=MB^{2}+MC^{2}-2MB\cdot MC\cos60^{\circ},~\mbox{или}~9=x^{2}+4x^{2}-2\cdot x\cdot2x\cdot\frac{1}{2}=x^{2}+4x^{2}-2x^{2}=3x^{2},
откуда x=\sqrt{3}
. Следовательно, AM=2x=2\sqrt{3}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1980, задача 2, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1980, с. 26, задача 2, вариант 4