17129. Четырёхугольник
ABCD
вписан в окружность радиуса
R
, центр которой лежит внутри этого четырёхугольника. Диагонали
AC
и
BD
пересекаются в точке
M
. Найдите отрезок
BM
, если
AB=R
,
CD=R\sqrt{2}
,
AM:MC=2:1
.
Ответ.
\frac{R}{\sqrt{11-2\sqrt{3}}}
.
Решение. Обозначим
\angle ACB=\angle ADB=\alpha
,
\angle CAD=\angle CBD=\beta
. По теореме синусов
R=AB=2R\sin\alpha,~R\sqrt{2}=CD=2R\sin\beta~\Rightarrow~\sin\alpha=\frac{1}{2},~\sin\beta=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Поскольку центр окружности лежит внутри четырёхугольника,
\alpha
и
\beta
меньше
90^{\circ}
, поэтому
\alpha=30^{\circ}
и
\beta=45^{\circ}
.
Обозначим
BM=x
. По теореме синусов из треугольника
BMC
получаем
\frac{MC}{\sin45^{\circ}}=\frac{x}{\sin30^{\circ}}~\Rightarrow~MC=\frac{x\sin45^{\circ}}{\sin30^{\circ}}=x\sqrt{2}~\Rightarrow~AM=2MC=2x\sqrt{2}.

Поскольку
\cos\angle ABM=\cos(30^{\circ}+45^{\circ})=\cos75^{\circ}=\sqrt{\frac{1+\cos150^{\circ}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=

=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{(1-\sqrt{3})^{2}}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}},

применив теорему косинусов к треугольнику
AMB
, получим
AB^{2}=BM^{2}+AM^{2}-2BM\cdot AM\cos75^{\circ},~\mbox{или}~R^{2}=x^{2}+8x^{2}-2x^{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=

=x^{2}(11-2\sqrt{3})~\Rightarrow~CM=x=\frac{R}{\sqrt{11-2\sqrt{3}}}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1980, задача 2, вариант 5
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1980, с. 26, задача 2, вариант 5