17129. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность радиуса R
, центр которой лежит внутри этого четырёхугольника. Диагонали AC
и BD
пересекаются в точке M
. Найдите отрезок BM
, если AB=R
, CD=R\sqrt{2}
, AM:MC=2:1
.
Ответ. \frac{R}{\sqrt{11-2\sqrt{3}}}
.
Решение. Обозначим \angle ACB=\angle ADB=\alpha
, \angle CAD=\angle CBD=\beta
. По теореме синусов
R=AB=2R\sin\alpha,~R\sqrt{2}=CD=2R\sin\beta~\Rightarrow~\sin\alpha=\frac{1}{2},~\sin\beta=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Поскольку центр окружности лежит внутри четырёхугольника, \alpha
и \beta
меньше 90^{\circ}
, поэтому \alpha=30^{\circ}
и \beta=45^{\circ}
.
Обозначим BM=x
. По теореме синусов из треугольника BMC
получаем
\frac{MC}{\sin45^{\circ}}=\frac{x}{\sin30^{\circ}}~\Rightarrow~MC=\frac{x\sin45^{\circ}}{\sin30^{\circ}}=x\sqrt{2}~\Rightarrow~AM=2MC=2x\sqrt{2}.
Поскольку
\cos\angle ABM=\cos(30^{\circ}+45^{\circ})=\cos75^{\circ}=\sqrt{\frac{1+\cos150^{\circ}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=
=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{(1-\sqrt{3})^{2}}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}},
применив теорему косинусов к треугольнику AMB
, получим
AB^{2}=BM^{2}+AM^{2}-2BM\cdot AM\cos75^{\circ},~\mbox{или}~R^{2}=x^{2}+8x^{2}-2x^{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=
=x^{2}(11-2\sqrt{3})~\Rightarrow~CM=x=\frac{R}{\sqrt{11-2\sqrt{3}}}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1980, задача 2, вариант 5
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1980, с. 26, задача 2, вариант 5