1713. Докажите, что точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, точки B
и C
, а также точка пересечения биссектрис внешних углов с вершинами B
и C
лежат на одной окружности.
Указание. Пусть P
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, а Q
— точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах B
и C
. Тогда отрезок PQ
виден из точек B
и C
под прямым углом.
Решение. Пусть P
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, а Q
— точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах B
и C
. Поскольку биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны, то отрезок PQ
виден из точек B
и C
под прямым углом. Следовательно, точки B
и C
лежат на окружности с диаметром PQ
.