17132. Основание
AB
трапеции
ABCD
равно 2,
\angle A=90^{\circ}
,
AD=1
. Пусть
M
— точка пересечения диагонали
BD
и высоты
CK
, опущенной из вершины
C
на основание
AB
. Найдите площадь трапеции, если известно, что
\angle MAB=60^{\circ}
.
Ответ.
\frac{2}{11}(5+\sqrt{3})
.
Решение. Обозначим через
x
основание
CD
данной трапеции. Четырёхугольник
AKCD
— прямоугольник, поэтому
AK=CD=x~\Rightarrow~KB=AB-AK=2-x.

Из прямоугольного треугольника
AKM
получаем
MK=AK\tg\angle MAK=x\tg60^{\circ}=x\sqrt{3}.

Прямоугольные треугольники
MKB
и
DAB
подобны, поэтому
\frac{MK}{KB}=\frac{DA}{AB},~\mbox{или}~\frac{x\sqrt{3}}{2-x}=\frac{1}{2}~\Rightarrow~CD=x=\frac{2}{2\sqrt{3}+1}=\frac{2(2\sqrt{3}-1)}{11}.

Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot CK=\frac{2+x}{2}\cdot1=\frac{2+x}{2}=\frac{2+\frac{2(2\sqrt{3}-1)}{11}}{2}=\frac{2}{11}(5+\sqrt{3}).

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1981, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1981, с. 29, задача 3, вариант 3