17132. Основание AB
трапеции ABCD
равно 2, \angle A=90^{\circ}
, AD=1
. Пусть M
— точка пересечения диагонали BD
и высоты CK
, опущенной из вершины C
на основание AB
. Найдите площадь трапеции, если известно, что \angle MAB=60^{\circ}
.
Ответ. \frac{2}{11}(5+\sqrt{3})
.
Решение. Обозначим через x
основание CD
данной трапеции. Четырёхугольник AKCD
— прямоугольник, поэтому
AK=CD=x~\Rightarrow~KB=AB-AK=2-x.
Из прямоугольного треугольника AKM
получаем
MK=AK\tg\angle MAK=x\tg60^{\circ}=x\sqrt{3}.
Прямоугольные треугольники MKB
и DAB
подобны, поэтому
\frac{MK}{KB}=\frac{DA}{AB},~\mbox{или}~\frac{x\sqrt{3}}{2-x}=\frac{1}{2}~\Rightarrow~CD=x=\frac{2}{2\sqrt{3}+1}=\frac{2(2\sqrt{3}-1)}{11}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot CK=\frac{2+x}{2}\cdot1=\frac{2+x}{2}=\frac{2+\frac{2(2\sqrt{3}-1)}{11}}{2}=\frac{2}{11}(5+\sqrt{3}).
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1981, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1981, с. 29, задача 3, вариант 3