17134. Дан ромб ABCD
. Окружность радиуса R
описана около треугольника ABD
и проходит через центр окружности, вписанной в треугольник CBD
. Найдите площадь ромба.
Ответ. \frac{3}{2}R^{2}\sqrt{3}
.
Решение. Пусть O
и I
— центры окружностей описанной около треугольника ABC
и вписанной в треугольник CBD
соответственно. Обозначим \angle BAD=\alpha
. Тогда из вписанного четырёхугольника ABID
получаем
\angle BID=180^{\circ}-\angle BAD=180^{\circ}-\alpha,
а так как I
— точка пересечения биссектрис треугольника CBD
, то (см. задачу 4770)
\angle BID=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BCD=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}.
Из равенства
180^{\circ}-\alpha=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
находим, что \alpha=60^{\circ}
. Значит ромб состоит из двух равных равносторонних треугольников ABD
и CBD
.
Пусть сторона ромба равна a
. Из равнобедренного треугольника AOB
с углом 120^{\circ}
при вершине O
получаем
a=AB=OA\sqrt{3}=R\sqrt{3}.
Следовательно,
S_{ABCD}=2S_{\triangle ABD}=2\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{(R\sqrt{3})^{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}R^{2}\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1982, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1982, с. 31, задача 3, вариант 1