17137. Сторона AB
правильного треугольника ABC
равна 1 и является катетом прямоугольного треугольника ABD
, точки D
и C
лежат по разные стороны от прямой AB
. Окружность, описанная около треугольника ABC
, проходит через центр окружности, вписанной в треугольник ABD
. Найдите расстояние между точками C
и D
.
Ответ. \sqrt{\frac{7}{3}}
.
Решение. Пусть O
— описанной окружности треугольника ABC
, а I
— центр вписанной окружности треугольник ABD
. Из вписанного четырёхугольника AIBC
находим, что
\angle AIB=180^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.
В то же время, если \angle ADB=\alpha
, то (см. задачу 4770)
\angle AIB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ADB=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}.
Из равенства
90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}=120^{\circ}
находим, что \alpha=60^{\circ}
. Значит,
BD=\frac{AB}{\cos30^{\circ}}=\frac{2}{\sqrt{3}},~\angle ABD=30^{\circ},~\angle CBD=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}.
Следовательно,
CD+\sqrt{BC^{2}+BD^{2}}=\sqrt{1+\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{7}{3}}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1982, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1982, с. 32, задача 3, вариант 4