17137. Сторона
AB
правильного треугольника
ABC
равна 1 и является катетом прямоугольного треугольника
ABD
, точки
D
и
C
лежат по разные стороны от прямой
AB
. Окружность, описанная около треугольника
ABC
, проходит через центр окружности, вписанной в треугольник
ABD
. Найдите расстояние между точками
C
и
D
.
Ответ.
\sqrt{\frac{7}{3}}
.
Решение. Пусть
O
— описанной окружности треугольника
ABC
, а
I
— центр вписанной окружности треугольник
ABD
. Из вписанного четырёхугольника
AIBC
находим, что
\angle AIB=180^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.

В то же время, если
\angle ADB=\alpha
, то (см. задачу 4770)
\angle AIB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ADB=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}.

Из равенства
90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}=120^{\circ}

находим, что
\alpha=60^{\circ}
. Значит,
BD=\frac{AB}{\cos30^{\circ}}=\frac{2}{\sqrt{3}},~\angle ABD=30^{\circ},~\angle CBD=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}.

Следовательно,
CD+\sqrt{BC^{2}+BD^{2}}=\sqrt{1+\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{7}{3}}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1982, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1982, с. 32, задача 3, вариант 4