17138. Расстояние между центрами
O_{1}
и
O_{2}
окружностей равно
10r
, их радиусы равны соответственно
5r
и
6r
. Прямая, пересекающая окружность с центром
O_{1}
в точках
A
и
B
, касается окружности с центром
O_{2}
в точке
C
, причём
AB=2BC
. Найдите длину хорды
AB
.
Ответ.
2r\sqrt{21}
или
6r
.
Решение. Пусть точка касания с большей окружностью лежит вне меньшей (рис. 1),
M
и
F
— проекции точки
O_{1}
на прямые
AC
и
O_{2}C
соответственно.
Обозначим
BC=x
. Тогда
AB=2x,~MB=x,~FC=O_{1}M=\sqrt{O_{1}B^{2}-MB^{2}}=\sqrt{25r^{2}-x^{2}},

O_{2}F=O_{2}C-FC=6r-\sqrt{25r^{2}-x^{2}},

Из прямоугольного треугольника
O_{1}FO_{2}
получаем
O_{1}F^{2}+O_{2}F^{2}=O_{1}O_{2}^{2},~\mbox{или}~4x^{2}+(6r-\sqrt{25r^{2}-x^{2}})^{2}=100r^{2}.

После очевидных упрощений получаем уравнение
x^{4}-10x^{2}r^{2}-231r^{4}=0

Условию задачи удовлетворяет только его положительный корень
x=r\sqrt{21}
. Следовательно,
AB=2x=r\sqrt{21}.

Пусть теперь точка касания
C
лежит внутри меньшей окружности (рис. 2). В этом случае
C
— середина хорды
AB
, а радиус
O_{2}C
большей окружности перпендикулярен
AB
. Тогда радиус
O_{2}C
лежит на линии центров
O_{1}O_{2}
, поэтому
O_{1}C=O_{1}O_{2}-O_{2}C=10r=6r=4r.

Из прямоугольного треугольника
BCO_{1}
находим, что
BC=\sqrt{O_{1}B^{2}-O_{1}C^{2}}=\sqrt{25r^{2}-16r^{2}}=3r.

Следовательно,
AB=2BC=6r
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1983, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1983, с. 34, задача 3, вариант 2