1714. Точки A
, B
, C
и D
последовательно расположены на окружности, причём центр O
окружности расположен внутри четырёхугольника ABCD
. Точки K
, L
, M
и N
— середины отрезков AB
, BC
, CD
и AD
соответственно. Докажите, что \angle KON+\angle MOL=180^{\circ}
.
Указание. OK
, OL
, OM
и ON
— биссектрисы равнобедренных треугольников AOB
, BOC
, COD
и DOA
, проведённые к основаниям.
Решение. Рассмотрим равнобедренные треугольники AOB
, BOC
, COD
и DOA
. Их медианы OK
, OL
, OM
и ON
являются биссектрисами углов AOB
, BOC
, COD
и DOA
соответственно, поэтому
\angle KON+\angle MOL=\left(\frac{1}{2}\angle AOD+\frac{1}{2}\angle AOB\right)+\left(\frac{1}{2}\angle BOC+\frac{1}{2}\angle COD\right)=
=\frac{1}{2}(\angle AOD+\angle AOB+\angle BOC+\angle COD)=\frac{1}{2}\cdot360^{\circ}=180^{\circ}.