17140. Расстояние между центрами равных окружностей радиуса
r
равно
3r
. Прямая пересекает одну из окружностей в точках
A
и
B
и касается другой окружности в точке
C
, причём
AB=BC
. Найдите длину хорды
AB
.
Ответ.
\frac{r\sqrt{15}}{2}
или
r\sqrt{3}
.
Решение. Пусть прямая пересекает окружность с центром
O_{1}
в точках
A
и
B
и касается окружности с центром
O_{2}
в точке
C
,
AB=BC=2x
,
M
и
F
— проекции точки
O_{1}
на прямые
AC
и
O_{2}C
соответственно. Тогда
O_{1}M=\sqrt{O_{1}A^{2}-AM^{2}}=\sqrt{r^{2}-x^{2}}.

Рассмотрим случай, когда центры
O_{1}
и
O_{2}
окружностей лежат по одну сторону от прямой
AB
(рис. 1). Тогда точка
F
лежит на отрезке
O_{1}F
, а так как
O_{1}MCF
— прямоугольник, то
O_{2}F=O_{2}C-CF=O_{2}C-O_{1}M=r-\sqrt{r^{2}-x^{2}}.

По теореме Пифагора
O_{1}O_{2}^{2}=O_{1}F^{2}+O_{2}F^{2},~\mbox{или}~9r^{2}=9x^{2}+(r-\sqrt{r^{2}-x^{2}})^{2}~\Leftrightarrow

\Leftrightarrow~2r\sqrt{r^{2}-x^{2}}=8x^{2}-7r^{2}~\Leftrightarrow~\syst{64x^{2}-108x^{2}r^{2}+45r^{4}=0\\x^{2}\geqslant\frac{7}{8}r^{2}.\\}~\Leftrightarrow~x^{2}=\frac{15}{16}r^{2}.

Значит,
x=\frac{r\sqrt{15}}{4}
. Следовательно,
AB=2x=\frac{r\sqrt{15}}{2}.

Пусть теперь точки
O_{1}
и
O_{2}
лежат по разные стороны от прямой
AB
. Тогда
O_{2}F=O_{2}C+CF=O_{2}C-O_{1}M=r+\sqrt{r^{2}-x^{2}}.

Аналогично предыдущему случаю получим систему
\syst{64x^{2}-108x^{2}r^{2}+45r^{4}=0\\x^{2}\leqslant\frac{7}{8}r^{2}.\\}~\Leftrightarrow~x^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}r^{2}.

Значит,
x=\frac{r\sqrt{3}}{2}
. Следовательно,
AB=2x=r\sqrt{3}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1983, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1983, с. 35, задача 3, вариант 4