17145. В трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
биссектриса угла BAD
проходит через середину M
стороны CD
. Известно, что AB=5
, AM=4
. Найдите BM
.
Ответ. 3.
Решение. Пусть прямые AM
и BC
пересекаются в точке K
. Поскольку AM
— биссектриса угла BAD
, а углы BKA
и KAD
равны как накрест лежащие при параллельных прямых BK
, AD
и секущей CD
, то \angle BAK=\angle BKA
. Значит, треугольник ABK
равнобедренный, BK=AB
, а так как равны треугольники CMK
и DMA
(по стороне и прилежащим к ней углам), то AM=MK
, поэтому BM
— медиана (и значит, высота) треугольника ABK
. Следовательно, по теореме Пифагора
BM=\sqrt{AB^{2}-AM^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1985, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1985, с. 38, задача 3, вариант 1