17146. В параллелограмме ABCD
биссектрисы углов BAD
и CDA
пересекают сторону BC
в точках M
и N
соответственно. Найдите сторону AB
, если известно, что AM=12
и DN=5
.
Ответ. \frac{13}{2}
.
Решение. Обозначим AB=a
, BC=b
и MN=t
. Поскольку AM
— биссектриса угла BAD
, а углы AMB
и DAM
равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC
, AD
и секущей AM
, то \angle BAM=\angle AMB
. Значит, треугольник ABM
равнобедренный, AM=AB=a
. Аналогично, CN=CD=a
. Кроме того, биссектрисы углов, сумма которых равна 180^{\circ}
, перпендикулярны.
Через точку M
параллельно AB
проведём прямую, пересекающую прямую AD
в точке K
, и параллельно ND
— прямую, пересекающую прямую AD
в точке L
. Тогда треугольник AML
прямоугольный с прямым углом при вершине M
. Значит,
AL=\sqrt{AM^{2}+ML^{2}}=\sqrt{AM^{2}+DN^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13.
Если точка N
лежит между B
и M
, то
b=BC=BM+CN-MN=a+a-MN~\Rightarrow~b=2a-t~\Rightarrow~b+t=2a,
а так как DLMN
— параллелограмм, то
DL=MN=t,~AL=AD+DL=b+t=13~\Rightarrow~2a=13~\Rightarrow~AB=a=\frac{13}{2}.
Если точка N
лежит между C
и M
, то аналогично получим, что
2a+t=b,~b=t+13~\Rightarrow~2a+t=t+13~\Rightarrow~2a=13~\Rightarrow~AB=a=\frac{13}{2}.
Если же точки M
и N
совпадают, то очевидно, AC=2AB
и AD=13
, поэтому
AB=\frac{1}{2}AD=\frac{13}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1985, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1985, с. 39, задача 3, вариант 2