17146. В параллелограмме
ABCD
биссектрисы углов
BAD
и
CDA
пересекают сторону
BC
в точках
M
и
N
соответственно. Найдите сторону
AB
, если известно, что
AM=12
и
DN=5
.
Ответ.
\frac{13}{2}
.
Решение. Обозначим
AB=a
,
BC=b
и
MN=t
. Поскольку
AM
— биссектриса угла
BAD
, а углы
AMB
и
DAM
равны как накрест лежащие при параллельных прямых
BC
,
AD
и секущей
AM
, то
\angle BAM=\angle AMB
. Значит, треугольник
ABM
равнобедренный,
AM=AB=a
. Аналогично,
CN=CD=a
. Кроме того, биссектрисы углов, сумма которых равна
180^{\circ}
, перпендикулярны.
Через точку
M
параллельно
AB
проведём прямую, пересекающую прямую
AD
в точке
K
, и параллельно
ND
— прямую, пересекающую прямую
AD
в точке
L
. Тогда треугольник
AML
прямоугольный с прямым углом при вершине
M
. Значит,
AL=\sqrt{AM^{2}+ML^{2}}=\sqrt{AM^{2}+DN^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13.

Если точка
N
лежит между
B
и
M
, то
b=BC=BM+CN-MN=a+a-MN~\Rightarrow~b=2a-t~\Rightarrow~b+t=2a,

а так как
DLMN
— параллелограмм, то
DL=MN=t,~AL=AD+DL=b+t=13~\Rightarrow~2a=13~\Rightarrow~AB=a=\frac{13}{2}.

Если точка
N
лежит между
C
и
M
, то аналогично получим, что
2a+t=b,~b=t+13~\Rightarrow~2a+t=t+13~\Rightarrow~2a=13~\Rightarrow~AB=a=\frac{13}{2}.

Если же точки
M
и
N
совпадают, то очевидно,
AC=2AB
и
AD=13
, поэтому
AB=\frac{1}{2}AD=\frac{13}{2}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1985, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1985, с. 39, задача 3, вариант 2