17147. В трапеции
ABCD
с основаниями
BC
и
AD
биссектриса угла
BAD
пересекает сторону
CD
в точке
M
. Известно, что
AD=AB+BC=10
,
AM=8
. Найдите
DM
.
Ответ. 6.
Решение. Проведём через вершину
B
прямую, параллельную
CD
. Пусть она пересечёт
AM
и
AD
в точках
L
и
K
соответственно. Тогда
BCDK
— параллелограмм, поэтому
DK=BC
. Значит,
AB+BC=AD=AK+KD=AK+BC~\Rightarrow~AB=AK,

т. е. треугольник
ABK
равнобедренный. Его биссектриса
AL
является высотой, а так как
CF\parallel BK
, то
AM\perp DM
. Следовательно, учитывая, что
AD=AB+BC=10,

из прямоугольного треугольника
AMD
находим, что
DM=\sqrt{AD^{2}-AM^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1985, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1985, с. 39, задача 3, вариант 3