17147. В трапеции ABCD
с основаниями BC
и AD
биссектриса угла BAD
пересекает сторону CD
в точке M
. Известно, что AD=AB+BC=10
, AM=8
. Найдите DM
.
Ответ. 6.
Решение. Проведём через вершину B
прямую, параллельную CD
. Пусть она пересечёт AM
и AD
в точках L
и K
соответственно. Тогда BCDK
— параллелограмм, поэтому DK=BC
. Значит,
AB+BC=AD=AK+KD=AK+BC~\Rightarrow~AB=AK,
т. е. треугольник ABK
равнобедренный. Его биссектриса AL
является высотой, а так как CF\parallel BK
, то AM\perp DM
. Следовательно, учитывая, что
AD=AB+BC=10,
из прямоугольного треугольника AMD
находим, что
DM=\sqrt{AD^{2}-AM^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1985, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1985, с. 39, задача 3, вариант 3