17148. В трапеции
ABCD
основание
BC
равно 5, боковая сторона
AB
равна 10. Биссектриса угла
BAD
перпендикулярна боковой стороне
CD
и пересекает её в точке
M
. Найдите
AM
, если известно, что
CM=3
.
Ответ. 12
Решение. Пусть прямые
AM
и
BC
пересекаются в точке
K
, прямые
AB
и
CD
— в точке
L
, Тогда
\angle AKB=\angle DAK=\angle BAK,

поэтому треугольник
ABK
равнобедренный,
AB=BK=10
. Значит,
CK=BK-BC=10-5=5=BC,

поэтому
CM
— средняя линия прямоугольного треугольника
BHK
,
BH=2CM=6
.
Пусть прямая
BH
пересекает основание
AD
в точке
N
. Тогда
AH
— высота и биссектриса треугольника
ABN
. Значит, этот треугольник равнобедренный,
AN=AM=10
, а
H
— середина
BN
. Тогда
BH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8.

Кроме того,
DN=BC=5~\Rightarrow~AD=AN+ND=10+5=15.

Треугольник
ALD
подобен треугольнику
ANB
с коэффициентом
\frac{AD}{AN}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}.

Следовательно,
AM=\frac{3}{2}AH=\frac{3}{2}\cdot8=12.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1985, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1985, с. 39, задача 3, вариант 4