17148. В трапеции ABCD
основание BC
равно 5, боковая сторона AB
равна 10. Биссектриса угла BAD
перпендикулярна боковой стороне CD
и пересекает её в точке M
. Найдите AM
, если известно, что CM=3
.
Ответ. 12
Решение. Пусть прямые AM
и BC
пересекаются в точке K
, прямые AB
и CD
— в точке L
, Тогда
\angle AKB=\angle DAK=\angle BAK,
поэтому треугольник ABK
равнобедренный, AB=BK=10
. Значит,
CK=BK-BC=10-5=5=BC,
поэтому CM
— средняя линия прямоугольного треугольника BHK
, BH=2CM=6
.
Пусть прямая BH
пересекает основание AD
в точке N
. Тогда AH
— высота и биссектриса треугольника ABN
. Значит, этот треугольник равнобедренный, AN=AM=10
, а H
— середина BN
. Тогда
BH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8.
Кроме того,
DN=BC=5~\Rightarrow~AD=AN+ND=10+5=15.
Треугольник ALD
подобен треугольнику ANB
с коэффициентом
\frac{AD}{AN}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}.
Следовательно,
AM=\frac{3}{2}AH=\frac{3}{2}\cdot8=12.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1985, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1985, с. 39, задача 3, вариант 4