17150. Найдите площадь треугольника ABC
, если известно, что AB=1
, BC=2
, \angle ABC=2\angle BAC
.
Ответ. \frac{\sqrt{15}}{4}
.
Решение. Обозначим \angle A=\alpha
. Тогда \angle B=2\alpha
и \angle C=180^{\circ}-3\alpha
.
По теореме синусов из треугольника ABC
получаем
\frac{BC}{\sin\alpha}=\frac{AB}{(180^{\circ}-3\alpha)},~\mbox{или}~\frac{2}{\sin\alpha}=\frac{1}{\sin3\alpha},
а так как
\sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^{3}\alpha,
то
\frac{2}{\sin\alpha}=\frac{1}{3\sin\alpha-4\sin^{3}\alpha},
откуда \sin^{2}\alpha=\frac{5}{8}
. При этом \sin\alpha\gt0
, а так как 2\alpha\gt\alpha
, то \alpha\lt90^{\circ}
(иначе \angle ABC=2\alpha\gt180^{\circ}
, что невозможно). Таким образом,
\sin\alpha\gt0,~\cos\alpha\gt0,~\sin\alpha=\sqrt{\frac{5}{8}},~\cos\alpha=\sqrt{\frac{3}{8}},
\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\sqrt{\frac{5}{8}}\cdot\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt{15}}{4}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot1\cdot2\cdot\sin2\alpha=\sin2\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1986, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1986, с. 41, задача 3, вариант 2