17150. Найдите площадь треугольника
ABC
, если известно, что
AB=1
,
BC=2
,
\angle ABC=2\angle BAC
.
Ответ.
\frac{\sqrt{15}}{4}
.
Решение. Обозначим
\angle A=\alpha
. Тогда
\angle B=2\alpha
и
\angle C=180^{\circ}-3\alpha
.
По теореме синусов из треугольника
ABC
получаем
\frac{BC}{\sin\alpha}=\frac{AB}{(180^{\circ}-3\alpha)},~\mbox{или}~\frac{2}{\sin\alpha}=\frac{1}{\sin3\alpha},

а так как
\sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^{3}\alpha,

то
\frac{2}{\sin\alpha}=\frac{1}{3\sin\alpha-4\sin^{3}\alpha},

откуда
\sin^{2}\alpha=\frac{5}{8}
. При этом
\sin\alpha\gt0
, а так как
2\alpha\gt\alpha
, то
\alpha\lt90^{\circ}
(иначе
\angle ABC=2\alpha\gt180^{\circ}
, что невозможно). Таким образом,
\sin\alpha\gt0,~\cos\alpha\gt0,~\sin\alpha=\sqrt{\frac{5}{8}},~\cos\alpha=\sqrt{\frac{3}{8}},

\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\sqrt{\frac{5}{8}}\cdot\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt{15}}{4}.

Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot1\cdot2\cdot\sin2\alpha=\sin2\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1986, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1986, с. 41, задача 3, вариант 2