17152. Точка M
— середина стороны AC
треугольника ABC
. Известно, что AB=2
, BC=3
, \angle ABM=2\angle MBC
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{15\sqrt{7}}{16}
.
Решение. Положим \angle MBC=\alpha
, \angle ABM=2\alpha
. По теореме синусов из треугольников ABM
и CBM
получаем
\frac{AB}{\sin\angle AMB}=\frac{AM}{\sin\angle ABM}~\mbox{и}~\frac{BC}{\sin(180^{\circ}-\angle AMB)}=\frac{CM}{\sin\angle MBC},
или
\frac{2}{\sin\angle AMB}=\frac{AM}{\sin2\alpha}~\mbox{и}~\frac{3}{\sin\angle AMB}=\frac{CM}{\sin\alpha}.
Разделив первое равенство на второе и учитывая, что AM=CM
, получим
\frac{2}{3}=\frac{\sin\alpha}{\sin2\alpha}~\Rightarrow~\frac{2}{3}=\frac{\sin\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}~\Rightarrow
\Rightarrow~\cos\alpha=\frac{3}{4},~\sin\alpha=\frac{\sqrt{7}}{4},~\cos2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=2\cdot\frac{9}{16}-\frac{7}{16}=\frac{1}{8},
\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac{\sqrt{7}}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{7}}{8}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot2\cdot3\sin(\alpha+2\alpha)=
=3(\sin\alpha\cos2\alpha+\cos\alpha\sin2\alpha)=3\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\cdot\frac{1}{8}+\frac{3}{4}\cdot\frac{3\sqrt{7}}{8}\right)=3\left(\frac{\sqrt{7}}{32}+\frac{9\sqrt{7}}{32}\right)=\frac{15\sqrt{7}}{16}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1986, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1986, с. 42, задача 3, вариант 4